Dimension finie
Chapitre 13
MPSI (1re année) — Chapitre 13. Espaces de dimension finie, théorème de la base incomplète, dimension d’un espace et d’un sous-espace, dimension d’une somme, rang d’une application linéaire, théorème du rang, hyperplans et formes linéaires.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Dimension finie
Dans la suite, \mathbb{K}=\mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Espaces de type fini, dimension
1.1 Espace de type fini
Définition 2.1
Un \mathbb{K}-espace vectoriel E est de type fini s’il admet une famille génératrice finie : \exists n\in\mathbb{N}^*, \exists x_1,\ldots,x_n\in E tels que E=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_n).
Exemple 2.1
- \mathbb{K}^n est de type fini (sa base canonique l’engendre).
- \mathbb{K}_n[X] est de type fini car \mathbb{K}_n[X]=\mathrm{Vect}\left((X^k)_{0\leq k\leq n}\right).
- \mathbb{K}[X] n’est pas de type fini.
1.2 Théorème de la base incomplète et lemme fondamental
Lemme 2.1 — (Lemme fondamental)
Soit V un \mathbb{K}-espace vectoriel, n\in\mathbb{N}^*, (x_1,\ldots,x_n) une famille libre de vecteurs de V. Alors toute famille de n+1 vecteurs de \mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_n) est liée.
Théorème 2.1 — (Théorème de la base incomplète)
Soit \mathcal{G} une famille génératrice finie de E et \mathcal{L} une famille libre de vecteurs de E. Alors il existe une base \mathcal{B} de E telle que \mathcal{L}\subset\mathcal{B} et \mathcal{B}\subset\mathcal{G}\vee\mathcal{L}.
1.3 Dimension
Théorème 2.2 — (Corollaire et définition)
Soit E un espace de type fini. Alors E admet des bases ; toutes les bases sont de longueur finie et ont même longueur. Cette longueur commune s’appelle la dimension de E et se note \dim E.
Remarque.
- \dim\{0\}=0 (car (\varnothing) est une base de \{0\}) ; \dim\mathbb{K}^n=n ; \dim\mathbb{K}_n[X]=n+1.
- Si E n’est pas de type fini, il contient des familles libres de longueur arbitrairement grande.
2 Principes et résultats usuels
2.1 Principe de fainéantise
Théorème 3.1 — (Principe de fainéantise)
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n\in\mathbb{N}^*.
- Toute famille libre de E est de longueur \leq n ; si sa longueur est n, c’est une base.
- Toute famille génératrice finie de E est de longueur \geq n ; si sa longueur est n, c’est une base.
- Pour une famille (x_1,\ldots,x_n) de n vecteurs, les assertions suivantes sont équivalentes : libre ; génératrice ; base.
2.2 Dimension et sous-espaces
Proposition 3.1
Soit E de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Alors F est de dimension finie, \dim F\leq\dim E, et \dim F=\dim E \iff F=E.
2.3 Dimension des sommes et produits
Proposition 3.2
- Si E=F\oplus G (plus généralement \bigoplus_{i=1}^r F_i=E), alors \dim E=\dim F+\dim G (resp. \dim E=\sum_{i=1}^r\dim F_i).
- Si E est de dimension finie et F un sous-espace vectoriel, il existe un sous-espace G tel que E=F\oplus G (tout sous-espace admet un supplémentaire).
Théorème 3.2 — (Dimension d’une somme quelconque)
Soit E de dimension finie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors : \dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)
Proposition 3.3 — (Produit cartésien, \boldsymbol{\mathcal{L}(E,F)})
- E\times F muni des lois usuelles est un \mathbb{K}-espace vectoriel ; si E,F sont de dimension finie, \dim(E\times F)=\dim E+\dim F.
- \mathcal{L}(E,F) est de dimension finie et \dim\mathcal{L}(E,F)=\dim E\times\dim F ; en particulier \dim\mathcal{L}(E)=(\dim E)^2 et \dim E^*=\dim E, où E^*=\mathcal{L}(E,\mathbb{K}) est l’espace dual.
Remarque. Si \mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n) est une base de E, la famille (e_1^*,\ldots,e_n^*) définie par e_i^*(e_k)=\delta_{ik} est une base de E^* appelée base duale de \mathcal{B} : e_j^* associe à tout vecteur sa j-ième coordonnée dans \mathcal{B}.
3 Applications linéaires en dimension finie
3.1 Rang d’une application linéaire
Définition 4.1
Soit E de dimension finie, F un espace vectoriel et f\in\mathcal{L}(E,F). Alors \mathrm{Im}\,f est de dimension finie (engendré par f(e_1),\ldots,f(e_n)) ; le rang de f est \mathrm{rg}\,f=\dim\mathrm{Im}\,f. On a toujours \mathrm{rg}\,f\leq\dim E, et \mathrm{rg}\,f\leq\min(\dim E,\dim F) si F est de dimension finie.
Proposition 4.1
Soient E,F de dimension finie.
- Si \dim E<\dim F, il ne peut exister d’application linéaire surjective de E dans F.
- Si \dim E>\dim F, il ne peut exister d’application linéaire injective de E dans F.
- E et F sont isomorphes si et seulement si \dim E=\dim F.
Remarque. S’il existe un isomorphisme de E dans X et si E est de dimension finie, alors X est de dimension finie et \dim X=\dim E.
3.2 Principe de fainéantise : le retour
Théorème 4.1
Soient E,F de dimension finie avec \dim E=\dim F, f\in\mathcal{L}(E,F) et \mathcal{B} une base de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- f est injective ;
- f est surjective ;
- f est bijective ;
- f(\mathcal{B}) est libre ;
- f(\mathcal{B}) est génératrice ;
- f(\mathcal{B}) est une base.
Exemple 4.1 — (Polynômes interpolateurs de Lagrange)
Soient n\in\mathbb{N} et x_1,\ldots,x_{n+1} distincts dans \mathbb{C}. Pour tout (n+1)-uplet (y_1,\ldots,y_{n+1}), il existe P\in\mathbb{C}_n[X] tel que \forall i,\ P(x_i)=y_i : en effet l’application \varphi:P\mapsto(P(x_1),\ldots,P(x_{n+1})) est linéaire et injective (un polynôme de degré \leq n ayant n+1 racines est nul), donc isomorphisme puisque \dim\mathbb{C}_n[X]=n+1=\dim\mathbb{C}^{n+1}.
3.3 Théorème du rang
Théorème 4.2 — (Théorème du rang)
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie, F un \mathbb{K}-espace vectoriel et f\in\mathcal{L}(E,F). Alors : \dim\ker f+\mathrm{rg}\,f=\dim E
Preuve. Soit H un supplémentaire de \ker f dans E : E=\ker f\oplus H. L’application \varphi:H\to\mathrm{Im}\,f,\ x\mapsto f(x) est linéaire ; elle est injective car \ker\varphi=H\cap\ker f=\{0_E\}, et surjective car si y=f(a) avec a=x+b (x\in H, b\in\ker f), alors y=f(x). Ainsi \dim H=\dim\mathrm{Im}\,f=\mathrm{rg}\,f, et puisque E=H\oplus\ker f : \dim E=\dim H+\dim\ker f.
Exemple 4.2
Soit f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3), f(x,y,z)=(x-2y+z,\ x-z,\ y-z). On a \mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3) avec u_1=(1,1,0), u_2=(-2,0,1), u_3=(1,-1,-1). Or (u_1,u_2) est libre et u_1+u_2+u_3=0, donc \mathrm{Im}\,f=\mathrm{Vect}(u_1,u_2) et \mathrm{rg}\,f=2. D’après le théorème du rang, \dim\ker f=1 ; comme f(1,1,1)=0 : \ker f=\mathrm{Vect}((1,1,1)). De plus \dim(\mathrm{Im}\,f+\ker f)=3, donc \mathbb{R}^3=\mathrm{Im}\,f\oplus\ker f.
4 Hyperplans et formes linéaires
Définition 5.1
Soit E de dimension finie n\in\mathbb{N}^*. On appelle droite (resp. plan, hyperplan) de E tout sous-espace vectoriel de dimension 1 (resp. 2, n-1). Une forme linéaire sur E est un élément de E^*=\mathcal{L}(E,\mathbb{K}).
Proposition 5.1
- Si \varphi\in E^*\setminus\{0\}, alors \ker\varphi est un hyperplan de E.
- Tout hyperplan H de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle \varphi ; les formes linéaires de noyau H sont exactement les \alpha\varphi avec \alpha\in\mathbb{K}^*.
- Dans une base \mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n), les hyperplans de E sont les ensembles d’équation cartésienne \sum_{i=1}^n a_i\alpha_i=0 avec (a_1,\ldots,a_n)\neq(0,\ldots,0).
Exemple 5.1
- Dans \mathbb{K}^2 : les hyperplans sont les droites ax+by=0 avec (a,b)\neq(0,0).
- Dans \mathbb{K}^3 : les hyperplans sont les plans ax+by+cz=0 avec (a,b,c)\neq(0,0,0).
Exercice 5.1 — (Exercice classique)
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie. Trouver tous les endomorphismes de E qui commutent avec : tous les projecteurs ; toutes les symétries ; tous les éléments de \mathrm{GL}(E) ; tous les endomorphismes.
Indication : montrer qu’un tel endomorphisme u vérifie \forall x\in E,\ u(x)\in\mathrm{Vect}(x) (considérer un projecteur sur \mathrm{Vect}(x)), donc u est une homothétie h_\lambda=\lambda\,\mathrm{Id}_E ; réciproquement, les homothéties commutent avec tout endomorphisme.