TD — Développements limités

Chapitre 20

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 20. Taylor-Young, équivalents, applications géométriques et analytiques.

Exercice 1

Donner les développements limités à l’ordre indiqué en 0 :

  1. e^x à l’ordre 4
  2. \ln(1+x) à l’ordre 3
  3. \sin x à l’ordre 5
  4. \cos x à l’ordre 4
  5. \frac{1}{1-x} à l’ordre 3
  6. \arctan x à l’ordre 3

Exercice 2

Donner les développements limités en 0 à l’ordre 3 de :

  1. \frac{\sin x}{x}
  2. e^x \cos x
  3. \frac{1}{1+x^2}
  4. \ln(1 + x + x^2)

Exercice 3

Donner les équivalents simples en 0 :

  1. \sin x - x
  2. 1 - \cos x
  3. \ln(1+x) - x
  4. e^x - 1 - x
  5. \tan x - x

Exercice 4

Soit f(x) = e^x. Calculer f^{(n)}(0) pour tout n et en déduire le DL de e^x à l’ordre n en 0.

Exercice 5

Montrer que si f(x) \sim g(x) en 0 et g(x) \neq 0 au voisinage de 0, alors : \frac{f(x)}{g(x)} \to 1 \quad (x \to 0)

Exercice 6

Déterminer les limites suivantes :

  1. \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}
  2. \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}
  3. \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x + x^2/2}{x^3}
  4. \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}

Exercice 7

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2. Montrer que : f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) \quad (x \to 0)

Indication : Utiliser la formule de Taylor-Young à l’ordre 2.

Exercice 8

Soit f(x) = \frac{1}{1+x}. Déterminer le DL de f à l’ordre 3 en 0 et en déduire la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0.

Exercice 9

Déterminer le DL de \sqrt{1+x} à l’ordre 3 en 0. En déduire une valeur approchée de \sqrt{1{,}01}.

Indication : (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + o(x^3) avec \alpha = 1/2.

Exercice 10

Soit f(x) = \frac{x - \sin x}{x - \tan x}. Déterminer la limite de f en 0 et la position de la courbe par rapport à cette limite.

Indications : - x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3) - x - \tan x = -\frac{x^3}{3} + o(x^3) - Donc f(x) \to -1/2 en 0.

Cours

Chapitre 20 : Développements limités