Développements limités

Chapitre 20

Auteur·rice

Said MAHARI

Date de publication

21 août 2026

MPSI (1re année) — Chapitre 20. Formule de Taylor-Young, développements limités des fonctions usuelles, opérations sur les DL, équivalents, applications analytiques (calcul de limites) et géométriques (tangentes, position de la courbe par rapport à la tangente, asymptotes).

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

Développements limités

1 Formule de Taylor-Young

1.1 Négligeabilité et définition

Définition 2.1 — (Négligeabilité)

Soient f,g deux fonctions définies au voisinage d’un point a (qui peut être fini ou \pm\infty), avec g ne s’annulant pas au voisinage de a. On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a, et on note f=\underset{a}{o}(g), si : \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0. En particulier, f=\underset{a}{o}(1) signifie \lim_{x\to a}f(x)=0.

Remarque.

  • En a fini, f=\underset{a}{o}(1) équivaut à \lim_{x\to a}f=0 ; f=\underset{a}{o}(x-a) signifie que f s’annule « plus vite » que x-a.
  • Propriétés : \underset{a}{o}(1)+\underset{a}{o}(1)=\underset{a}{o}(1) ; g\cdot\underset{a}{o}(1)=\underset{a}{o}(g) ; \underset{a}{o}(g)+\underset{a}{o}(g)=\underset{a}{o}(g).

Définition 2.2 — (Développement limité)

Soit f une fonction définie au voisinage d’un point a\in\mathbb{R} et n\in\mathbb{N}. On dit que f admet un développement limité (DL) en a à l’ordre n s’il existe des réels a_0,a_1,\cdots,a_n tels que : f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots+a_n(x-a)^n+\underset{a}{o}\left((x-a)^n\right). Le polynôme a_0+a_1(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^n est la partie régulière du DL, et \underset{a}{o}\left((x-a)^n\right) le reste.

Proposition 2.1 — (Unicité du DL)

Si f admet un DL en a à l’ordre n, alors ce DL est unique.

Remarque.

  • Si f admet un DL en a à l’ordre n, elle en admet un à tout ordre k\leq n (on tronque).
  • Si f admet un DL en a, alors f est continue en a et a_0=f(a) ; si n\geq 1, f est dérivable en a et a_1=f'(a). La réciproque est fausse en général.

1.2 Formule de Taylor-Young

Théorème 2.1 — (Taylor-Young)

Soit I un intervalle ouvert, a\in I et n\in\mathbb{N}. Si f est de classe \mathcal{C}^n sur I, alors f admet un DL en a à l’ordre n, donné par : f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\underset{a}{o}\left((x-a)^n\right) c’est-à-dire f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\underset{a}{o}\left((x-a)^n\right).

Preuve. Par récurrence sur n (ou par intégration par parties itérée à partir de la formule de Taylor avec reste intégral) ; le point clé est que le reste R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k vérifie \lim_{x\to a}\frac{R_n(x)}{(x-a)^n}=0.

1.3 Développements limités usuels (à connaître par cœur)

Proposition 2.2 — (DL usuels en \boldsymbol{0})

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\underset{0}{o}(x^n) \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{0}{o}(x^{2n+1}) \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{0}{o}(x^{2n+2}) \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\underset{0}{o}(x^n) (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\underset{0}{o}(x^n) \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\underset{0}{o}(x^n)\qquad \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+\underset{0}{o}(x^n) \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\underset{0}{o}(x^2)\qquad \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\underset{0}{o}(x^5)

1.4 Opérations sur les DL

Proposition 2.3

Si f admet un DL en a à l’ordre n de partie régulière P(x) et g un DL en a à l’ordre n de partie régulière Q(x), alors :

  • Somme : f+g admet un DL en a à l’ordre n de partie régulière P+Q ;
  • Produit : fg admet un DL en a à l’ordre n de partie régulière le polynôme P\times Q tronqué à l’ordre n ;
  • Quotient : si g(a)\neq 0, \frac{f}{g} admet un DL en a à l’ordre n obtenu en développant \frac{1}{g}= \frac{1}{g(a)}\cdot\frac{1}{1+u} avec u=\underset{a}{o}(1) ;
  • Composition : si g admet un DL en b et f un DL en a avec f(a)=b, alors g\circ f admet un DL en a obtenu par composition des parties régulières tronquées.

Exemple 2.1

DL de f(x)=e^x\cos x en 0 à l’ordre 3 : on a e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\underset{0}{o}(x^3) et \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\underset{0}{o}(x^3). En ne gardant que les termes d’ordre \leq 3 : e^x\cos x=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)\left(1-\frac{x^2}{2}\right)+\underset{0}{o}(x^3)=1+x-\frac{x^3}{3}+\underset{0}{o}(x^3).

Exemple 2.2

DL de f(x)=\frac{1}{1+x} en 0 à l’ordre 2 : \frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\underset{0}{o}(x^2). DL de \ln(1+x) à l’ordre 3 : \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\underset{0}{o}(x^3). Donc : \frac{\ln(1+x)}{1+x}=\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)(1-x+x^2)+\underset{0}{o}(x^3)=x-\frac{3x^2}{2}+\frac{11x^3}{6}+\underset{0}{o}(x^3).

Exemple 2.3 — (DL en un point quelconque)

Pour obtenir un DL de f en a, on pose x=a+h et on cherche un DL en h=0. Par exemple, DL de f(x)=\sqrt{x} en a=1 : \sqrt{1+h}=1+\frac{h}{2}-\frac{h^2}{8}+\underset{0}{o}(h^2), donc \sqrt{x}=1+\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{8}+\underset{1}{o}\left((x-1)^2\right).

2 Équivalents

2.1 Définition et propriétés

Définition 3.1

Soient f,g deux fonctions définies au voisinage d’un point a, avec g ne s’annulant pas au voisinage de a. On dit que f est équivalente à g au voisinage de a, et on note f\underset{a}{\sim}g, si : \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \qquad \text{i.e.} \qquad f=g\left(1+\underset{a}{o}(1)\right) \qquad \text{i.e.} \qquad f-g=\underset{a}{o}(g).

Proposition 3.1 — (Propriétés)

  • La relation \sim est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique, transitive).
  • Compatibilité avec le produit et le quotient : si f\underset{a}{\sim}g et f_1\underset{a}{\sim}g_1, alors ff_1\underset{a}{\sim}gg_1 et \frac{f}{f_1}\underset{a}{\sim}\frac{g}{g_1}.
  • Puissances : si f\underset{a}{\sim}g, alors f^n\underset{a}{\sim}g^n pour n\in\mathbb{Z}.
  • Attention : l’équivalence n’est pas compatible avec la somme ni avec la composition en général : si f\sim g et f_1\sim g_1, on ne peut pas conclure f+f_1\sim g+g_1 (sauf si les limites des équivalents ne sont pas opposées).

2.2 Équivalents usuels

Proposition 3.2 — (Équivalents usuels en \boldsymbol{0})

\sin x\underset{0}{\sim}x \qquad \tan x\underset{0}{\sim}x \qquad \ln(1+x)\underset{0}{\sim}x \qquad e^x-1\underset{0}{\sim}x (1+x)^{\alpha}-1\underset{0}{\sim}\alpha x \qquad \sqrt{1+x}-1\underset{0}{\sim}\frac{x}{2} \qquad \cos x-1\underset{0}{\sim}-\frac{x^2}{2} En +\infty : \ln x\underset{+\infty}{=}\underset{+\infty}{o}(x) (le logarithme est négligeable devant toute puissance), et x^{\alpha}\underset{+\infty}{=}\underset{+\infty}{o}(e^x).

Exemple 3.1

  • En 0 : \ln(1+x)+\sin x\underset{0}{\sim}2x (car \ln(1+x)\sim x et \sin x\sim x, les équivalents s’ajoutent car ils sont de même signe).
  • En +\infty : x^2+3x\underset{+\infty}{\sim}x^2 ; \sqrt{x^2+3x}\underset{+\infty}{\sim}x ; e^x+x^2\underset{+\infty}{\sim}e^x.

Remarque. On ne peut pas additionner des équivalents lorsque les limites s’annulent : par exemple \left(x+\frac{1}{x}\right)-x\underset{+\infty}{\sim}\frac{1}{x} mais on ne peut pas écrire x+\frac1x\sim x puis soustraire x. Il faut alors passer par un DL.

3 Applications analytiques et géométriques

3.1 Calcul de limites

Exemple 4.1

Calculer \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2} : avec le DL \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\underset{0}{o}(x^2), on obtient \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=-\frac12+\underset{0}{o}(1), donc la limite vaut -\frac12.

Exemple 4.2

Calculer \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right) : on réduit au même dénominateur : \frac{\sin x-x}{x\sin x}. Avec \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\underset{0}{o}(x^3) et x\sin x\underset{0}{\sim}x^2 : \frac{\sin x-x}{x\sin x}\underset{0}{\sim}\frac{-\frac{x^3}{6}}{x^2}=-\frac{x}{6}\underset{0}{\longrightarrow}0.

Exemple 4.3

Calculer \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right) : on factorise : \sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\frac3x}=x\left(1+\frac{3}{2x}-\frac{9}{8x^2}+\underset{+\infty}{o}\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=x+\frac32-\frac{9}{8x}+\underset{+\infty}{o}\left(\frac1x\right). Donc \sqrt{x^2+3x}-x\underset{+\infty}{\longrightarrow}\frac32.

3.2 Tangente et position de la courbe par rapport à la tangente

Proposition 4.1

Soit f admettant un DL en a à l’ordre n\geq 1 : f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots+\underset{a}{o}\left((x-a)^n\right). Alors la courbe \mathcal{C}_f admet en a une tangente (T) d’équation y=a_0+a_1(x-a). Si k\geq 2 est le premier indice avec a_k\neq 0, alors la position de \mathcal{C}_f par rapport à (T) au voisinage de a est donnée par le signe de a_k(x-a)^k :

  • si k est pair, la courbe reste du côté du signe de a_k (point de contact) ;
  • si k est impair, la courbe traverse la tangente (point d’inflexion).

Exemple 4.4

Soit f(x)=\frac{e^x}{1+x}. DL en 0 à l’ordre 2 : e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\underset{0}{o}(x^2) et \frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\underset{0}{o}(x^2), donc f(x)=1+\frac{x^2}{2}+\underset{0}{o}(x^2). La tangente en 0 est y=1 (horizontale) et, comme \frac{x^2}{2}>0, la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0.

Exemple 4.5

Soit f(x)=\sin x. DL en 0 à l’ordre 3 : \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\underset{0}{o}(x^3). La tangente en 0 est y=x ; comme le premier terme non nul après la partie linéaire est -\frac{x^3}{6} (ordre impair), la courbe traverse sa tangente en 0 (au-dessus pour x<0, au-dessous pour x>0).

3.3 Asymptotes

Proposition 4.2

Si f admet un DL en +\infty (resp. -\infty) de la forme f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+\underset{+\infty}{o}\left(\frac1x\right) avec c\neq 0, alors la droite y=ax+b est une asymptote à \mathcal{C}_f en +\infty, et la position de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par le signe de \frac{c}{x}.

Exemple 4.6

Pour f(x)=\sqrt{x^2+3x} en +\infty (voir l’exemple ci-dessus) : f(x)=x+\frac32-\frac{9}{8x}+\underset{+\infty}{o}\left(\frac1x\right). Donc la droite y=x+\frac32 est asymptote à \mathcal{C}_f en +\infty et, comme -\frac{9}{8x}<0 pour x>0, la courbe est au-dessous de son asymptote au voisinage de +\infty.

Exercice 4.1

  1. Donner les DL en 0 à l’ordre 3 de : \frac{1}{1-x^2} ; \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} ; e^x\sin x ; \tan x.
  2. Calculer les limites : \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} ; \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} ; \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right).
  3. Donner un équivalent en 0 de : \sin x-\tan x ; \ln(1+x)-\frac{x}{1+x} ; puis en +\infty de \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+1}.
  4. Étudier la tangente en 0 et la position de la courbe par rapport à la tangente pour f(x)=x-\ln(1+x) et f(x)=e^x-x.

Solution.

  1. \frac{1}{1-x^2}=1+x^2+\underset{0}{o}(x^3) ; \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2-\frac{x^2}{4}+\underset{0}{o}(x^3) ; e^x\sin x=x+x^2+\frac{x^3}{3}+\underset{0}{o}(x^3) ; \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\underset{0}{o}(x^3).
  2. \frac{e^x-1-x}{x^2}\to\frac12 ; \frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12 ; \frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}\underset{0}{\sim}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-\frac{x^2}{2}}\to-\frac12.
  3. \sin x-\tan x\underset{0}{\sim}-\frac{x^3}{2} ; \ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\underset{0}{\sim}\frac{x^2}{2} ; \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+1}\underset{+\infty}{\sim}\frac12.
  4. x-\ln(1+x)=\frac{x^2}{2}+\underset{0}{o}(x^2) : tangente y=0, courbe au-dessus ; e^x-x=1+\frac{x^2}{2}+\underset{0}{o}(x^2) : tangente y=1, courbe au-dessus.

Document en PDF

Chapitre 20 : Développements limités