Cours – Convergences et approximations
Chapitre 10
ECT2 (2e année) — Chapitre 10. Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, suites de variables aléatoires, loi faible des grands nombres.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Inégalités
1.1 Inégalité de Markov
Théorème 1.1 — (Inégalité de Markov)
Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance. Alors pour tout a > 0 : P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}
Preuve. On a X \geq a \cdot \mathbb{1}_{(X \geq a)}. Par croissance de l’espérance : E(X) \geq a \cdot E(\mathbb{1}_{(X \geq a)}) = a \cdot P(X \geq a)
Exemple 1.1
Si E(X) = 10, alors P(X \geq 20) \leq \frac{10}{20} = \frac{1}{2}.
1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème 1.2 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
Soit X une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2. Alors pour tout \varepsilon > 0 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
Preuve. On applique l’inégalité de Markov à (X - E(X))^2 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) = P((X - E(X))^2 \geq \varepsilon^2) \leq \frac{E((X - E(X))^2)}{\varepsilon^2} = \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
Exemple 1.2
Si E(X) = 10 et V(X) = 4, alors P(|X - 10| \geq 6) \leq \frac{4}{36} = \frac{1}{9}.
2 Suites de variables aléatoires
2.1 Convergence en probabilité
Définition 2.1 — (Convergence en probabilité)
Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On dit que (X_n) converge en probabilité vers X, noté X_n \xrightarrow{P} X, si : \forall \varepsilon > 0, \quad P(|X_n - X| \geq \varepsilon) \xrightarrow{n \to +\infty} 0
2.2 Convergence en loi
Définition 2.2 — (Convergence en loi)
Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire. On dit que (X_n) converge en loi vers X, noté X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X, si : \forall x \in \mathbb{R} \text{ point de continuité de } F_X, \quad F_{X_n}(x) \xrightarrow{n \to +\infty} F_X(x)
Proposition 2.1
La convergence en probabilité implique la convergence en loi.
3 Loi faible des grands nombres
Théorème 3.1 — (Loi faible des grands nombres)
Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons \mu = E(X_1) et \sigma^2 = V(X_1). Alors : \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \xrightarrow{P} \mu
Preuve. Par indépendance et même loi : E(\overline{X}_n) = \mu, \quad V(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2} \xrightarrow{n \to +\infty} 0
Exemple 3.1 — (Interprétation)
La loi faible des grands nombres justifie l’approche fréquentiste de la probabilité : si l’on répète n fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’un événement converge en probabilité vers sa probabilité.
4 Exercices
Exercice 4.1
Soit X une variable aléatoire positive avec E(X) = 10.
- Majorer P(X \geq 20).
- Majorer P(X \geq 40).
Exercice 4.2
Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 10 et V(X) = 4.
- Majorer P(|X - 10| \geq 2).
- Majorer P(|X - 10| \geq 6).
Exercice 4.3
Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons \mu = E(X_1) et \sigma^2 = V(X_1).
- Calculer E(\overline{X}_n) et V(\overline{X}_n).
- Montrer que \overline{X}_n \xrightarrow{P} \mu.
Exercice 4.4
On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de piles.
- Calculer E(S_n) et V(S_n).
- Montrer que \frac{S_n}{n} \xrightarrow{P} \frac{1}{2}.
Exercice 4.5
On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n la somme des résultats.
- Calculer E(S_n) et V(S_n).
- Montrer que \frac{S_n}{n} \xrightarrow{P} \frac{7}{2}.
Exercice 4.6
Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 3 et V(X) = 4.
- Majorer P(|X - 3| \geq 2).
- Majorer P(|X - 3| \geq 6).
Exercice 4.7
On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de piles.
- Calculer E(S_n) et V(S_n).
- Montrer que \frac{S_n}{n} \xrightarrow{P} \frac{1}{2}.
Exercice 4.8
On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n la somme des résultats.
- Calculer E(S_n) et V(S_n).
- Montrer que \frac{S_n}{n} \xrightarrow{P} \frac{7}{2}.