TD — Convergences et approximations

Chapitre 10

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 10. Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, suites de variables aléatoires, loi faible des grands nombres.

Exercice 1

Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 10.

  1. Majorer P(X \geq 20).
  2. Majorer P(X \geq 50).

Exercice 2

Soit X une variable aléatoire telle que E(X) = 5 et V(X) = 9.

  1. Majorer P(|X - 5| \geq 3).
  2. Majorer P(|X - 5| \geq 6).

Exercice 3

Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 4.

  1. Majorer P(X \geq 8).
  2. Si V(X) = 4, majorer P(|X - 4| \geq 4).

Exercice 4

On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n la somme des résultats obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{7}{2}\right| \geq 1\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  3. Pour quelle valeur de n cette majoration est-elle inférieure à 0{,}01 ?

Exercice 5

On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de « pile » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{2}\right| \geq 0{,}1\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  3. Pour quelle valeur de n cette majoration est-elle inférieure à 0{,}01 ?

Exercice 6

Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 3 et V(X) = 4.

  1. Majorer P(X \geq 6).
  2. Majorer P(|X - 3| \geq 3).

Exercice 7

On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n le nombre de « 6 » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{6}\right| \geq 0{,}1\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 8

Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 5 et V(X) = 4.

  1. Majorer P(X \geq 10).
  2. Majorer P(X \geq 15).

Exercice 9

On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de « pile » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{2}\right| \geq 0{,}05\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  3. Pour quelle valeur de n cette majoration est-elle inférieure à 0{,}05 ?

Exercice 10

Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 2 et V(X) = 1.

  1. Majorer P(X \geq 4).
  2. Majorer P(X \geq 6).

Exercice 11

On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n la somme des résultats obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{7}{2}\right| \geq 0{,}5\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 12

On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de « pile » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{2}\right| \geq 0{,}2\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 13

Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 6 et V(X) = 9.

  1. Majorer P(X \geq 12).
  2. Majorer P(|X - 6| \geq 3).

Exercice 14

On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n le nombre de « 6 » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{6}\right| \geq 0{,}05\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 15

On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de « pile » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{2}\right| \geq 0{,}1\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 16

Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 8 et V(X) = 16.

  1. Majorer P(X \geq 16).
  2. Majorer P(|X - 8| \geq 4).

Exercice 17

On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de « pile » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{2}\right| \geq 0{,}15\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 18

On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n le nombre de « 6 » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{6}\right| \geq 0{,}1\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 19

Soit X une variable aléatoire positive telle que E(X) = 12 et V(X) = 25.

  1. Majorer P(X \geq 24).
  2. Majorer P(|X - 12| \geq 5).

Exercice 20

On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de « pile » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{2}\right| \geq 0{,}25\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 21

On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n le nombre de « 6 » obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{1}{6}\right| \geq 0{,}2\right) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Cours

📝 Chapitre 10 : Convergences et approximations