TD — Variables aléatoires à densité

Chapitre 09

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 09. Densités de probabilité, lois usuelles (uniforme, exponentielle, normale), espérance et variance.

Exercice 1

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} cx^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Déterminer la constante c.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  3. Calculer E(X) et V(X).
  4. Calculer P\left(\frac{1}{4} < X < \frac{1}{2}\right).

Exercice 2

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1].

  1. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  2. Calculer P(0{,}2 < X < 0{,}7).
  3. Calculer E(X) et V(X).
  4. Soit Y = X^2. Déterminer la fonction de répartition de Y.

Exercice 3

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \lambda = 2.

  1. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  2. Calculer P(X > 1).
  3. Calculer E(X) et V(X).
  4. Calculer P(X > 2 \mid X > 1) et vérifier la propriété d’absence de mémoire.

Exercice 4

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 10].

  1. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  2. Calculer P(2 < X < 5).
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 5

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \lambda = 3.

  1. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  2. Calculer P(X > 1).
  3. Calculer E(X) et V(X).
  4. Calculer P(1 < X < 2).

Exercice 6

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} 2(1-x) & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est bien une densité.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 7

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1]. Soit Y = -\ln(1-X).

  1. Déterminer la fonction de répartition de Y.
  2. Montrer que Y suit une loi exponentielle de paramètre 1.

Exercice 8

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}} & -1 < x < 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est bien une densité.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  3. Calculer E(X).

Exercice 9

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{-|x|} & x \in \mathbb{R} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est bien une densité.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 10

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} & x \in \mathbb{R} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est bien une densité.
  2. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 11

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{-x/2} & x \geq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est bien une densité.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  3. Calculer E(X) et V(X).
  4. Calculer P(X > 2).

Exercice 12

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est bien une densité.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  3. Calculer E(X) et V(X).
  4. Soit Y = X^2. Déterminer la fonction de répartition de Y.

Exercice 13

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{3}{8} x^2 & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est bien une densité.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 14

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} & x \in \mathbb{R} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Calculer P(X > 0).
  2. Calculer P(-1 < X < 1).
  3. Calculer P(X > 2).

On utilise les valeurs approchées : P(X > 1) \approx 0{,}159 et P(X > 2) \approx 0{,}023.

Exercice 15

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2} & x \in \mathbb{R} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est bien une densité.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X(x).
  3. X admet-elle une espérance ? Justifier.

Exercice 16

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(x-2)^2/2} & x \in \mathbb{R} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Calculer E(X) et V(X).
  2. Calculer P(X > 2).

Exercice 17

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} & x \in \mathbb{R} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Calculer E(X) et V(X).
  2. Soit Y = 2X + 1. Déterminer la densité de Y.

Exercice 18

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} & x \in \mathbb{R} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Calculer E(X) et V(X).
  2. Soit Y = X^2. Déterminer la fonction de répartition de Y.

Cours

📝 Chapitre 09 : Variables aléatoires à densité