Cours – Variables aléatoires à densité
Chapitre 09
ECT2 (2e année) — Chapitre 09. Densités de probabilité, lois usuelles (uniforme, exponentielle, normale), espérance et variance.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Densités de probabilité
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Densité de probabilité)
Une fonction f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} est une densité de probabilité si :
- f est continue sauf en un nombre fini de points
- f \geq 0
- \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = 1
Définition 1.2 — (Variable aléatoire à densité)
Une variable aléatoire X est à densité s’il existe une densité de probabilité f telle que pour tout x \in \mathbb{R} : P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt
Proposition 1.1 — (Propriétés)
Soit X une variable aléatoire à densité de densité f. Alors :
- P(X = x) = 0 pour tout x \in \mathbb{R}
- P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t) \, dt
- P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt
- P(X \geq x) = \int_x^{+\infty} f(t) \, dt
1.2 Espérance et variance
Définition 1.3 — (Espérance)
Soit X une variable aléatoire à densité de densité f. X admet une espérance si \int_{-\infty}^{+\infty} |t| f(t) \, dt converge. On pose alors : E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, dt
Définition 1.4 — (Variance)
Si X admet un moment d’ordre 2, la variance de X est : V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f(t) \, dt - (E(X))^2
Proposition 1.2 — (Formule de transfert)
Soit X une variable aléatoire à densité de densité f et g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction. Alors g(X) admet une espérance si et seulement si \int_{-\infty}^{+\infty} |g(t)| f(t) \, dt converge, et : E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) f(t) \, dt
2 Loi uniforme
Définition 2.1 — (Loi uniforme)
Soient a < b. On dit que X suit la loi uniforme sur [a, b], notée X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]), si : f(t) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } t \in [a, b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
Proposition 2.1 — (Espérance et variance)
Si X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]), alors : E(X) = \frac{a+b}{2}, \quad V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}
Exemple 2.1
Si X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]), alors : E(X) = \frac{1}{2}, \quad V(X) = \frac{1}{12}
3 Loi exponentielle
Définition 3.1 — (Loi exponentielle)
Soit \lambda > 0. On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda, notée X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda), si : f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}
Proposition 3.1 — (Vérification)
On a bien : \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = \int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^{+\infty} = 1
Proposition 3.2 — (Espérance et variance)
Si X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda), alors : E(X) = \frac{1}{\lambda}, \quad V(X) = \frac{1}{\lambda^2}
Proposition 3.3 — (Absence de mémoire)
Si X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda), alors pour tous s, t \geq 0 : P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)
Exemple 3.1 — (Interprétation)
La loi exponentielle modélise la durée de vie d’un composant électronique, le temps entre deux arrivées de clients à un guichet, etc.
4 Loi normale
Définition 4.1 — (Loi normale centrée réduite)
On dit que X suit la loi normale centrée réduite, notée X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1), si : f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}
Proposition 4.1 — (Espérance et variance)
Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1), alors : E(X) = 0, \quad V(X) = 1
Définition 4.2 — (Loi normale)
Soient \mu \in \mathbb{R} et \sigma > 0. On dit que X suit la loi normale de paramètres \mu et \sigma^2, notée X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), si : f(t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(t-\mu)^2/(2\sigma^2)}
Proposition 4.2 — (Espérance et variance)
Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), alors : E(X) = \mu, \quad V(X) = \sigma^2
Proposition 4.3 — (Transformation)
Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), alors \frac{X - \mu}{\sigma} \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1).
Exemple 4.1
Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1), alors : - P(X > 0) = \frac{1}{2} (par symétrie) - P(X > 1) \approx 0.16 (par la table) - P(X > 2) \approx 0.023 (par la table)
5 Exercices
Exercice 5.1
Soit X une variable aléatoire à densité f(t) = \begin{cases} 2t & \text{si } t \in [0, 1] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.
- Vérifier que f est une densité.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.2
Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]).
- Calculer P(X \leq \frac{1}{2}).
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.3
Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(2).
- Calculer P(X > 1).
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.4
Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1).
- Calculer P(X > 0).
- Calculer P(X > 1).
- Calculer P(X > 2).
Exercice 5.5
Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(1, 4).
- Calculer E(X) et V(X).
- Calculer P(X > 1).
- Calculer P(X > 3).
Exercice 5.6
Soit X une variable aléatoire à densité f(t) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{si } t \in [-1, 1] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.
- Vérifier que f est une densité.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.7
Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(1).
- Calculer P(X > 1).
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.8
Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1). Calculer :
- P(X > 0)
- P(X > 1)
- P(X > 2)