Cours – Compléments d’analyse : Intégrales généralisées

Chapitre 08

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — Chapitre 08. Intégrales sur [a, +\infty[, fonctions continues par morceaux, critères de convergence.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.

1 Intégrales sur [a, +\infty[

1.1 Définition

Définition 1.1 — (Intégrale généralisée)

Soit f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R} continue par morceaux. L’intégrale généralisée \int_a^{+\infty} f(t) \, dt est définie par : \int_a^{+\infty} f(t) \, dt = \lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t) \, dt si cette limite existe et est finie. On dit alors que l’intégrale converge. Sinon, elle diverge.

Exemple 1.1

\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} converge car : \int_1^x \frac{dt}{t^2} = \left[-\frac{1}{t}\right]_1^x = 1 - \frac{1}{x} \xrightarrow{x \to +\infty} 1

Exemple 1.2

\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t} diverge car : \int_1^x \frac{dt}{t} = [\ln t]_1^x = \ln x \xrightarrow{x \to +\infty} +\infty

2 Intégrales de référence

Théorème 2.1 — (Intégrales de Riemann)

  1. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1. Dans ce cas : \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}

  2. \int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha < 1. Dans ce cas : \int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{1 - \alpha}

Exemple 2.1

  • \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} converge (\alpha = 2 > 1) et vaut 1.
  • \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t} diverge (\alpha = 1).
  • \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}} diverge (\alpha = \frac{1}{2} < 1).

3 Critères de convergence

3.1 Critère de comparaison

Théorème 3.1 — (Critère de comparaison)

Soient f, g : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}^+ continues par morceaux.

  1. Si 0 \leq f(t) \leq g(t) au voisinage de +\infty et \int_a^{+\infty} g(t) \, dt converge, alors \int_a^{+\infty} f(t) \, dt converge.
  2. Si 0 \leq f(t) \leq g(t) au voisinage de +\infty et \int_a^{+\infty} f(t) \, dt diverge, alors \int_a^{+\infty} g(t) \, dt diverge.

Théorème 3.2 — (Critère d’équivalence)

Soient f, g : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}^+ continues par morceaux. Si f(t) \sim g(t) au voisinage de +\infty, alors \int_a^{+\infty} f(t) \, dt et \int_a^{+\infty} g(t) \, dt sont de même nature.

Exemple 3.1

\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 1} converge car \frac{1}{t^2 + 1} \sim \frac{1}{t^2} au voisinage de +\infty et \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} converge.

4 Convergence absolue

Définition 4.1 — (Convergence absolue)

L’intégrale \int_a^{+\infty} f(t) \, dt est absolument convergente si \int_a^{+\infty} |f(t)| \, dt converge.

Théorème 4.1

Toute intégrale absolument convergente est convergente. De plus : \left|\int_a^{+\infty} f(t) \, dt\right| \leq \int_a^{+\infty} |f(t)| \, dt

Exemple 4.1

\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2} \, dt converge absolument car \left|\frac{\sin t}{t^2}\right| \leq \frac{1}{t^2} et \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} converge.

Exemple 4.2 — (Semi-convergence)

\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt converge mais pas absolument (car \int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t} \, dt diverge).

5 Intégration par parties

Théorème 5.1 — (Intégration par parties)

Soient f, g : [a, +\infty[ \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1. Si \lim_{x \to +\infty} f(x)g(x) existe et \int_a^{+\infty} f'(t)g(t) \, dt converge, alors \int_a^{+\infty} f(t)g'(t) \, dt converge et : \int_a^{+\infty} f(t)g'(t) \, dt = \lim_{x \to +\infty} [f(x)g(x)] - f(a)g(a) - \int_a^{+\infty} f'(t)g(t) \, dt

Exemple 5.1

\int_0^{+\infty} t e^{-t} \, dt converge car : \int_0^x t e^{-t} \, dt = [-te^{-t}]_0^x + \int_0^x e^{-t} \, dt = -xe^{-x} + 1 - e^{-x} \xrightarrow{x \to +\infty} 1

6 Exercices

Exercice 6.1

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3}
  2. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}}
  3. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 1}
  4. \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2} \, dt

Exercice 6.2

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t + 1}
  2. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^3 + 1}}
  3. \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt

Exercice 6.3

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2} \, dt
  2. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t \ln t}
  3. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 \ln t}

Exercice 6.4

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^2}
  2. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^3}
  3. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{1 + t}

Exercice 6.5

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}
  2. \int_0^1 \frac{dt}{t}
  3. \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t}}

Exercice 6.6

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t}
  2. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 - 1}
  3. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 - t}

Exercice 6.7

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3 + t}
  2. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3 - 1}
  3. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3 + 1}

Exercice 6.8

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + \sqrt{t}}
  2. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + \ln t}
  3. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + e^t}

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