Cours – Réduction des matrices carrées

Chapitre 07

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — Chapitre 07. Valeurs propres, vecteurs propres, matrices diagonalisables, polynômes annulateurs, application aux puissances de matrices.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n.

1 Valeurs propres et vecteurs propres

1.1 Définitions

Définition 1.1 — (Valeur propre, vecteur propre)

Soit u \in \mathcal{L}(E). Un scalaire \lambda \in \mathbb{K} est une valeur propre de u s’il existe x \in E \setminus \{0_E\} tel que : u(x) = \lambda x Le vecteur x est appelé vecteur propre associé à \lambda.

Définition 1.2 — (Sous-espace propre)

Le sous-espace propre associé à \lambda est : E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda \mathrm{Id}_E)

Définition 1.3 — (Spectre)

Le spectre de u, noté \mathrm{Sp}(u), est l’ensemble des valeurs propres de u.

Proposition 1.1

Soient \lambda_1, \ldots, \lambda_r des valeurs propres distinctes de u. Alors la somme E_{\lambda_1} + \cdots + E_{\lambda_r} est directe.

Proposition 1.2

Le spectre d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie n est fini de cardinal au plus n.

1.2 Polynôme caractéristique

Définition 1.4 — (Polynôme caractéristique)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Le polynôme caractéristique de A est : \chi_A(X) = \det(XI_n - A)

Proposition 1.3

  1. \chi_A est unitaire de degré n.
  2. \lambda est valeur propre de A \iff \chi_A(\lambda) = 0.
  3. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.
  4. \chi_A(X) = X^n - \mathrm{tr}(A) X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A)

Exemple 1.1

Pour A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} : \chi_A(X) = \det \begin{pmatrix} X-1 & -2 \\ 0 & X-3 \end{pmatrix} = (X-1)(X-3) Les valeurs propres sont \lambda_1 = 1 et \lambda_2 = 3.

2 Diagonalisation

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Matrice diagonalisable)

Une matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est diagonalisable s’il existe P \in GL_n(\mathbb{K}) et D diagonale telles que : A = PDP^{-1}

2.2 Caractérisations

Théorème 2.1 — (Caractérisation par les sous-espaces propres)

A est diagonalisable si et seulement si : \mathbb{K}^n = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_r} où \lambda_1, \ldots, \lambda_r sont les valeurs propres distinctes de A.

Théorème 2.2 — (Caractérisation par le polynôme caractéristique)

A est diagonalisable si et seulement si :

  1. \chi_A est scindé sur \mathbb{K}
  2. Pour toute valeur propre \lambda_k de multiplicité \mu_k, \dim E_{\lambda_k} = \mu_k

Proposition 2.1 — (Cas des valeurs propres distinctes)

Si A admet n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable.

Théorème 2.3 — (Caractérisation par le polynôme minimal)

A est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal P_A est scindé à racines simples.

Exemple 2.1 — (Matrice diagonalisable)

Pour A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} : - \chi_A(X) = (X-1)(X-3) - E_1 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) - E_3 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)

Donc A est diagonalisable : A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1}

Exemple 2.2 — (Matrice non diagonalisable)

Pour A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : - \chi_A(X) = (X-1)^2 - E_1 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) de dimension 1

Comme \dim E_1 = 1 < 2, A n’est pas diagonalisable.

3 Trigonalisation

Définition 3.1 — (Matrice trigonalisable)

A est trigonalisable s’il existe P \in GL_n(\mathbb{K}) et T triangulaire supérieure telles que : A = PTP^{-1}

Théorème 3.1 — (Caractérisation)

A est trigonalisable si et seulement si \chi_A est scindé sur \mathbb{K}.

Corollaire 3.1

En particulier, toute matrice de \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) est trigonalisable.

Exemple 3.1

Pour A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A est déjà triangulaire supérieure, donc trigonalisable.

4 Polynômes annulateurs

Définition 4.1 — (Polynôme annulateur)

Un polynôme P \in \mathbb{K}[X] est un polynôme annulateur de A si P(A) = 0.

Définition 4.2 — (Polynôme minimal)

Le polynôme minimal P_A de A est le polynôme annulateur unitaire de plus petit degré.

Théorème 4.1 — (Théorème de Cayley-Hamilton)

Le polynôme caractéristique annule la matrice : \chi_A(A) = 0.

Proposition 4.1

Tout polynôme annulateur de A est divisible par P_A.

Exemple 4.1

Pour A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : - \chi_A(X) = (X-1)^2 - A - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0 - (A - I)^2 = 0

Donc P_A(X) = (X-1)^2.

5 Application aux puissances de matrices

Théorème 5.1 — (Calcul de \boldsymbol{A^n} par diagonalisation)

Si A est diagonalisable avec A = PDP^{-1}, alors : A^n = PD^nP^{-1} où D^n est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont \lambda_i^n.

Exemple 5.1

Pour A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} diagonalisée en A = PDP^{-1} : A^n = P \begin{pmatrix} 1^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} P^{-1} = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} P^{-1}

Théorème 5.2 — (Calcul de \boldsymbol{A^n} par trigonalisation)

Si A est trigonalisable avec A = PTP^{-1}, alors : A^n = PT^nP^{-1} où T^n se calcule par récurrence.

Exemple 5.2

Pour A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, on a A = I + N avec N^2 = 0. Donc : A^n = (I + N)^n = I + nN = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

6 Exercices

Exercice 6.1

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A(X).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Si oui, diagonaliser A.
  4. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 6.2

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A(X).
  2. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  3. Déterminer le polynôme minimal de A.
  4. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 6.3

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A(X).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?

Exercice 6.4

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A(X).
  2. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  3. Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 6.5

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A(X).
  2. A est-elle diagonalisable ?
  3. Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 6.6

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A(X).
  2. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  3. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 6.7

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A(X).
  2. A est-elle diagonalisable ?
  3. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 6.8

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A(X).
  2. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  3. Déterminer le polynôme minimal de A.

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📝 Chapitre 07 : Réduction des matrices carrées

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