TD — Réduction des matrices carrées

Chapitre 07

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 07. Valeurs propres, vecteurs propres, matrices diagonalisables, polynômes annulateurs, application aux puissances de matrices.

Exercice 1

Soit A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Si oui, trouver P et D telles que A = PDP^{-1}.

Exercice 2

Soit A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?

Exercice 3

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?

Exercice 4

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  4. Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 5

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Si oui, diagonaliser A.
  4. En déduire A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 6

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?

Exercice 7

Soit A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?
  4. Calculer A^2 et A^3.

Exercice 8

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Si oui, diagonaliser A.
  4. En déduire A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 9

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?
  4. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 10

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?

Exercice 11

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?
  4. Déterminer le polynôme minimal de A.
  5. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 12

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?
  4. Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 13

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?

Exercice 14

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Si oui, diagonaliser A.
  4. En déduire A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 15

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?
  4. Déterminer le polynôme minimal de A.
  5. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 16

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A(\lambda).
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Si oui, diagonaliser A.

Cours

📝 Chapitre 07 : Réduction des matrices carrées