TD — Compléments d’analyse : Intégrales généralisées

Chapitre 08

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 08. Intégrales sur [a, +\infty[, fonctions continues par morceaux, critères de convergence.

Exercice 1

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}
  2. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t}
  3. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3}
  4. \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}
  5. \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{t}

Exercice 2

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 1}
  2. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t + 1}
  3. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + \sqrt{t}}

Exercice 3

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\, dt
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} t e^{-t}\, dt
  3. \displaystyle\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t}\, dt
  4. \displaystyle\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\, dt pour n \in \mathbb{N}

Exercice 4

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\, dt
  2. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t}\, dt
  3. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^3}\, dt

Exercice 5

Étudier la convergence absolue des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\, dt
  2. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt
  3. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}\, dt

Exercice 6

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^2}
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^3}
  3. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t}

Exercice 7

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t)^2}
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t)^3}
  3. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t)^{3/2}}

Exercice 8

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\, dt
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{1 - e^{-t}}{t}\, dt

Indication : Pour (1), montrer que \frac{1-\cos t}{t^2} \sim \frac{1}{2} quand t \to 0 et \frac{1-\cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2} quand t \to +\infty.

Exercice 9

Calculer les intégrales suivantes si elles convergent :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t)^2}
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t)^3}
  3. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{t\, dt}{(1+t)^3}

Exercice 10

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\, dt
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^3}\, dt

Indication : Pour (1), étudier la convergence en 0 et en +\infty séparément. Pour (2), montrer que \frac{\sin t}{t^3} \sim \frac{1}{t^2} quand t \to 0 et \frac{|\sin t|}{t^3} \leq \frac{1}{t^3} quand t \to +\infty.

Exercice 11

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t}\, dt
  2. \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}\, dt

Indication : Pour (1), utiliser une intégration par parties. Pour (2), utiliser le fait que |\cos t| \leq 1.

Exercice 12

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}(1+t)}
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}(1+t^2)}

Indication : Étudier la convergence en 0 et en +\infty séparément.

Exercice 13

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\, dt
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t}\, dt

Indication : Pour (1), montrer que \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \sim \frac{1}{\sqrt{t}} quand t \to 0 et \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \leq e^{-t} quand t \to +\infty. Pour (2), montrer que \frac{e^{-t}}{t} \sim \frac{1}{t} quand t \to 0.

Exercice 14

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\, dt
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2}\, dt

Exercice 15

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t + 1}
  2. \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 2t + 2}

Cours

📝 Chapitre 08 : Intégrales généralisées