Cours – Statistiques bivariées

Chapitre 06

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — Chapitre 06. Analyse de deux caractères, covariance empirique, corrélation linéaire, ajustement affine par les moindres carrés.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.

1 Statistiques bivariées

1.1 Nuage de points

Définition 1.1 — (Nuage de points)

On considère deux caractères quantitatifs X et Y observés sur n individus. On obtient un échantillon de n couples (x_i, y_i). Le nuage de points est l’ensemble des points M_i(x_i, y_i) dans le plan.

Définition 1.2 — (Point moyen)

Le point moyen du nuage de points est le point G(\bar{x}, \bar{y}) où : \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, \quad \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i

2 Covariance empirique

Définition 2.1 — (Covariance empirique)

Soit (x_i, y_i)_{1 \leq i \leq n} un échantillon de n couples. La covariance empirique de X et Y est : \mathrm{cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Proposition 2.1 — (Formule développée)

\mathrm{cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i y_i - \bar{x} \cdot \bar{y}

Proposition 2.2 — (Propriétés)

  1. \mathrm{cov}(X, Y) = \mathrm{cov}(Y, X)
  2. \mathrm{cov}(X, X) = V(X)
  3. \mathrm{cov}(aX + b, Y) = a \cdot \mathrm{cov}(X, Y)
  4. \mathrm{cov}(X + Y, Z) = \mathrm{cov}(X, Z) + \mathrm{cov}(Y, Z)

3 Corrélation linéaire

Définition 3.1 — (Coefficient de corrélation linéaire)

Soient V(X) > 0 et V(Y) > 0. Le coefficient de corrélation linéaire de X et Y est : r(X, Y) = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sqrt{V(X)} \cdot \sqrt{V(Y)}}

Proposition 3.1 — (Propriétés)

  1. -1 \leq r(X, Y) \leq 1
  2. |r(X, Y)| = 1 si et seulement s’il existe a \neq 0 et b tels que Y = aX + b
  3. Si X et Y sont indépendantes, alors r(X, Y) = 0 (mais la réciproque est fausse)

Exemple 3.1 — (Interprétation)

  • r(X, Y) \approx 1 : forte corrélation positive (quand X augmente, Y augmente)
  • r(X, Y) \approx -1 : forte corrélation négative (quand X augmente, Y diminue)
  • r(X, Y) \approx 0 : absence de corrélation linéaire

4 Ajustement affine par les moindres carrés

4.1 Droite de régression

Définition 4.1 — (Droite de régression)

La droite de régression de Y en X est la droite y = ax + b qui minimise la somme des carrés des écarts : \sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2

Théorème 4.1 — (Coefficients de la droite de régression)

Les coefficients de la droite de régression de Y en X sont : a = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{V(X)}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}

Proposition 4.1 — (Droite de régression de \boldsymbol{X} en \boldsymbol{Y})

La droite de régression de X en Y est la droite x = a'y + b' où : a' = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{V(Y)}, \quad b' = \bar{x} - a'\bar{y}

Proposition 4.2 — (Propriétés)

  1. La droite de régression de Y en X passe par le point moyen G(\bar{x}, \bar{y}).
  2. La droite de régression de X en Y passe aussi par G.
  3. Les deux droites de régression se coupent au point moyen G.
  4. Si |r(X, Y)| = 1, les deux droites de régression sont confondues.

Exemple 4.1 — (Application)

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4 5
y_i 2 3 4 5 6

On calcule : - \bar{x} = 3, \bar{y} = 4 - \mathrm{cov}(X, Y) = 1 - V(X) = 1, V(Y) = 1 - r(X, Y) = 1

La droite de régression de Y en X est y = x + 1. Comme r = 1, les deux droites de régression sont confondues.

5 Exercices

Exercice 5.1

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4
y_i 1 3 2 4
  1. Calculer \bar{x} et \bar{y}.
  2. Calculer \mathrm{cov}(X, Y), V(X) et V(Y).
  3. Calculer r(X, Y).
  4. Déterminer la droite de régression de Y en X.

Exercice 5.2

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4 5
y_i 2 4 3 5 4
  1. Calculer \bar{x} et \bar{y}.
  2. Calculer \mathrm{cov}(X, Y), V(X) et V(Y).
  3. Calculer r(X, Y).
  4. Déterminer la droite de régression de Y en X.
  5. Prévoir la valeur de Y pour x = 6.

Exercice 5.3

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4 5
y_i 6 4 3 2 1
  1. Calculer \bar{x} et \bar{y}.
  2. Calculer \mathrm{cov}(X, Y), V(X) et V(Y).
  3. Calculer r(X, Y).
  4. Déterminer la droite de régression de Y en X.

Exercice 5.4

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4 5
y_i 1 1 1 1 1
  1. Calculer \mathrm{cov}(X, Y).
  2. Calculer r(X, Y).
  3. Que peut-on conclure ?

Exercice 5.5

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4 5
y_i 2 4 6 8 10
  1. Calculer r(X, Y).
  2. Déterminer la droite de régression de Y en X.
  3. Déterminer la droite de régression de X en Y.
  4. Que peut-on conclure ?

Exercice 5.6

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4 5
y_i 5 4 3 2 1
  1. Calculer r(X, Y).
  2. Déterminer la droite de régression de Y en X.
  3. Déterminer la droite de régression de X en Y.

Exercice 5.7

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4 5
y_i 1 3 2 4 3
  1. Calculer \bar{x}, \bar{y}, \mathrm{cov}(X, Y), V(X), V(Y).
  2. Calculer r(X, Y).
  3. Déterminer la droite de régression de Y en X.
  4. Prévoir la valeur de Y pour x = 6.

Exercice 5.8

On considère les données suivantes :

x_i 1 2 3 4 5
y_i 5 3 3 2 1
  1. Calculer \bar{x}, \bar{y}, \mathrm{cov}(X, Y), V(X), V(Y).
  2. Calculer r(X, Y).
  3. Déterminer la droite de régression de Y en X.
  4. Prévoir la valeur de Y pour x = 6.

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📝 Chapitre 06 : Statistiques bivariées

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