Cours – Variables aléatoires discrètes infinies

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — Chapitre 05. Tribus, espaces probabilisés, variables aléatoires discrètes infinies, lois géométrique et de Poisson, fonctions génératrices.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.

1 Espaces probabilisés

1.1 Tribus

Définition 1.1 — (Tribu)

Soit \Omega un ensemble non vide. Une tribu (ou \sigma-algèbre) \mathcal{T} sur \Omega est une partie de \mathcal{P}(\Omega) vérifiant :

  1. \Omega \in \mathcal{T}
  2. Si A \in \mathcal{T}, alors \overline{A} = \Omega \setminus A \in \mathcal{T}
  3. Si (A_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite d’éléments de \mathcal{T}, alors \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{T}

Le couple (\Omega, \mathcal{T}) est appelé espace probabilisable.

Proposition 1.1

Soit (\Omega, \mathcal{T}) un espace probabilisable. Alors :

  1. \varnothing \in \mathcal{T}
  2. Si (A_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite d’éléments de \mathcal{T}, alors \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{T}
  3. Si A, B \in \mathcal{T}, alors A \setminus B \in \mathcal{T} et A \cup B \in \mathcal{T}

Exemple 1.1 — (Exemples de tribus)

  1. La tribu grossière : \{\varnothing, \Omega\} est une tribu sur \Omega.
  2. La tribu discrète : \mathcal{P}(\Omega) est une tribu sur \Omega.
  3. Si \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} (lancer d’un dé), la tribu engendrée par l’événement « obtenir un nombre pair » est : \mathcal{T} = \{\varnothing, \{2, 4, 6\}, \{1, 3, 5\}, \Omega\}

1.2 Probabilités

Définition 1.2 — (Probabilité)

Soit (\Omega, \mathcal{T}) un espace probabilisable. Une probabilité P sur (\Omega, \mathcal{T}) est une application P : \mathcal{T} \to [0, 1] vérifiant :

  1. P(\Omega) = 1
  2. Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} d’événements deux à deux disjoints : P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)

Le triplet (\Omega, \mathcal{T}, P) est appelé espace probabilisé.

Proposition 1.2 — (Propriétés des probabilités)

Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé. Alors :

  1. P(\varnothing) = 0
  2. P(\overline{A}) = 1 - P(A)
  3. Si A \subset B, alors P(A) \leq P(B)
  4. P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  5. Inégalité de Boole : P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \sum_{k=1}^n P(A_k)

1.3 Systèmes complets d’événements

Définition 1.3 — (Système complet d’événements)

Une famille (A_i)_{i \in I} d’événements est un système complet d’événements si :

  1. Les A_i sont deux à deux incompatibles : A_i \cap A_j = \varnothing pour i \neq j
  2. \bigcup_{i \in I} A_i = \Omega

Théorème 1.1 — (Formule des probabilités totales)

Soit (A_i)_{i \in I} un système complet d’événements avec P(A_i) > 0 pour tout i. Alors pour tout événement B : P(B) = \sum_{i \in I} P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)

Théorème 1.2 — (Formule de Bayes)

Soit (A_i)_{i \in I} un système complet d’événements avec P(A_i) > 0 pour tout i. Alors pour tout événement B avec P(B) > 0 : P(A_j \mid B) = \frac{P(B \mid A_j) \cdot P(A_j)}{\sum_{i \in I} P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)}

2 Variables aléatoires discrètes infinies

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Variable aléatoire discrète)

Une variable aléatoire réelle X définie sur (\Omega, \mathcal{T}, P) est discrète si X(\Omega) est un ensemble fini ou dénombrable.

Si X(\Omega) est infini, on dit que X est une variable aléatoire discrète infinie.

2.2 Loi d’une variable aléatoire discrète

Définition 2.2 — (Loi d’une variable aléatoire discrète)

Soit X une variable aléatoire discrète avec X(\Omega) = \{x_0, x_1, x_2, \ldots\}. La loi de X est déterminée par la famille (P(X = x_k))_{k \geq 0} vérifiant : \sum_{k=0}^{+\infty} P(X = x_k) = 1

2.3 Espérance et variance

Définition 2.3 — (Espérance)

Soit X une variable aléatoire discrète infinie. On dit que X admet une espérance si la série \sum_{k=0}^{+\infty} x_k P(X = x_k) est absolument convergente. On pose alors : E(X) = \sum_{k=0}^{+\infty} x_k P(X = x_k)

Définition 2.4 — (Moment d’ordre \boldsymbol{k})

Soit k \in \mathbb{N}^*. La variable X admet un moment d’ordre k si la série \sum_{k=0}^{+\infty} x_k^k P(X = x_k) est absolument convergente. On pose alors : E(X^k) = \sum_{k=0}^{+\infty} x_k^k P(X = x_k)

Définition 2.5 — (Variance)

Si X admet un moment d’ordre 2, la variance de X est : V(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2 L’écart-type est \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Proposition 2.1 — (Formule de transfert)

Soit X une variable aléatoire discrète et g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction. Alors g(X) admet une espérance si et seulement si la série \sum_{k=0}^{+\infty} g(x_k) P(X = x_k) est absolument convergente, et : E(g(X)) = \sum_{k=0}^{+\infty} g(x_k) P(X = x_k)

3 Loi géométrique

Définition 3.1 — (Loi géométrique)

Soit p \in ]0, 1[. On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p, notée X \hookrightarrow \mathcal{G}(p), si : \forall k \in \mathbb{N}^*, \quad P(X = k) = p(1-p)^{k-1}

Proposition 3.1 — (Vérification)

On a bien : \sum_{k=1}^{+\infty} p(1-p)^{k-1} = p \cdot \frac{1}{1-(1-p)} = 1

Proposition 3.2 — (Espérance et variance)

Si X \hookrightarrow \mathcal{G}(p), alors : E(X) = \frac{1}{p}, \quad V(X) = \frac{1-p}{p^2}

Proposition 3.3 — (Absence de mémoire)

Si X \hookrightarrow \mathcal{G}(p), alors pour tous n, m \in \mathbb{N}^* : P(X > n + m \mid X > m) = P(X > n)

Exemple 3.1 — (Interprétation)

On lance une pièce (probabilité de pile p) jusqu’à obtenir pile. Si X est le numéro du lancer où apparaît le premier pile, alors X \hookrightarrow \mathcal{G}(p).

4 Loi de Poisson

Définition 4.1 — (Loi de Poisson)

Soit \lambda > 0. On dit que X suit la loi de Poisson de paramètre \lambda, notée X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda), si : \forall k \in \mathbb{N}, \quad P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}

Proposition 4.1 — (Vérification)

On a bien : \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1

Proposition 4.2 — (Espérance et variance)

Si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda), alors : E(X) = \lambda, \quad V(X) = \lambda

Proposition 4.3 — (Stabilité par somme)

Si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda) et Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\mu) sont indépendantes, alors : X + Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda + \mu)

Exemple 4.1 — (Interprétation)

La loi de Poisson modélise le nombre d’arrivées d’événements rares sur un intervalle de temps : nombre d’appels reçus par un standard téléphonique, nombre de clients arrivant à un guichet, etc.

5 Fonctions génératrices

Définition 5.1 — (Fonction génératrice)

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}. La fonction génératrice de X est : G_X(s) = E(s^X) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X = k) \cdot s^k définie pour s \in [-1, 1].

Proposition 5.1 — (Propriétés)

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}.

  1. G_X(1) = 1
  2. Si X admet une espérance : G_X'(1) = E(X)
  3. Si X admet un moment d’ordre 2 : G_X''(1) = E(X(X-1)) et V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2

Proposition 5.2 — (Caractérisation de la loi)

La fonction génératrice détermine entièrement la loi de X : P(X = k) = \frac{G_X^{(k)}(0)}{k!}

Proposition 5.3 — (Somme de variables indépendantes)

Si X et Y sont indépendantes à valeurs dans \mathbb{N}, alors : G_{X+Y}(s) = G_X(s) \cdot G_Y(s)

Exemple 5.1 — (Fonctions génératrices usuelles)

Loi Fonction génératrice
\mathcal{G}(p) G_X(s) = \frac{ps}{1-(1-p)s}
\mathcal{P}(\lambda) G_X(s) = e^{\lambda(s-1)}
\mathcal{B}(n, p) G_X(s) = (1-p+ps)^n

6 Exercices

Exercice 6.1

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir pile. Soit X le numéro du lancer où apparaît le premier pile.

  1. Déterminer la loi de X.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Calculer P(X > 5).

Exercice 6.2

Soit X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda).

  1. Vérifier que \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = 1.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Calculer P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2).

Exercice 6.3

Soient X \hookrightarrow \mathcal{P}(2) et Y \hookrightarrow \mathcal{P}(3) indépendantes.

  1. Déterminer la loi de X + Y.
  2. Calculer E(X + Y) et V(X + Y).

Exercice 6.4

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N} telle que P(X = k) = \frac{c}{k!} pour k \geq 0.

  1. Déterminer la constante c.
  2. Quelle loi suit X ?
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 6.5

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}^* telle que P(X = k) = \frac{c}{2^k} pour k \geq 1.

  1. Déterminer la constante c.
  2. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 6.6

Soit X \hookrightarrow \mathcal{G}(p).

  1. Déterminer la fonction génératrice G_X(s).
  2. En déduire E(X) et V(X).

Exercice 6.7

Soit X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda).

  1. Déterminer la fonction génératrice G_X(s).
  2. En déduire E(X) et V(X).

Exercice 6.8

Le nombre d’appels reçus par un standard téléphonique en une heure suit une loi de Poisson de paramètre \lambda = 4.

  1. Calculer la probabilité de recevoir exactement 3 appels en une heure.
  2. Calculer la probabilité de recevoir au moins un appel en une heure.
  3. Calculer la probabilité de recevoir au plus 2 appels en une heure.

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📝 Chapitre 05 : Variables aléatoires discrètes infinies

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