TD — Variables aléatoires discrètes infinies

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 05. Tribus, espaces probabilisés, variables aléatoires discrètes, lois géométrique et de Poisson.

Exercice 1

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir « pile ». Soit X le nombre de lancers nécessaires.

  1. Donner la loi de X.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Calculer P(X > 5).
  4. Calculer P(X > 3 \mid X > 1) et vérifier la propriété d’absence de mémoire.

Exercice 2

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \lambda = 3.

  1. Calculer P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2).
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Calculer P(X \geq 2).

Exercice 3

Le nombre d’appels reçus par un standard téléphonique en une heure suit une loi de Poisson de paramètre \lambda = 4.

  1. Calculer la probabilité de recevoir exactement 3 appels en une heure.
  2. Calculer la probabilité de recevoir au moins un appel en une heure.
  3. Calculer la probabilité de recevoir au plus 2 appels en une heure.

Exercice 4

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} telle que P(X = k) = \frac{c}{k!} pour tout k \in \mathbb{N}.

  1. Déterminer la constante c.
  2. Quelle loi suit X ?
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 5

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N}^* telle que P(X = k) = \frac{c}{2^k} pour tout k \in \mathbb{N}^*.

  1. Déterminer la constante c.
  2. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 6

Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p = \frac{1}{3}.

  1. Calculer E(X) et V(X).
  2. Calculer P(X > 10).
  3. Calculer P(X = k \mid X > 5) pour tout k \geq 6.

Exercice 7

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \lambda.

  1. Montrer que P(X = k+1) = \dfrac{\lambda}{k+1} P(X = k) pour tout k \in \mathbb{N}.
  2. En déduire que le mode de X (la valeur la plus probable) est E(\lambda) (la partie entière de \lambda) ou E(\lambda) - 1 selon les cas.

Exercice 8

On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivant chacune une loi de Poisson de paramètres \lambda_1 = 2 et \lambda_2 = 3 respectivement.

  1. Quelle loi suit X + Y ? Justifier.
  2. Calculer E(X + Y) et V(X + Y).
  3. Calculer P(X + Y = 0), P(X + Y = 1).

Exercice 9

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir deux « pile » consécutifs. Soit X le nombre de lancers nécessaires.

  1. Montrer que P(X = 2) = \frac{1}{4}.
  2. Montrer que pour n \geq 3, P(X = n) = \frac{1}{2^n} F_{n-1} où (F_n) est la suite de Fibonacci.

Exercice 10

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} telle que : P(X = k) = \frac{1}{e \cdot k!} \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}

  1. Vérifier que cela définit bien une loi de probabilité.
  2. Quelle loi suit X ?
  3. Calculer E(X) et V(X).
  4. Calculer P(X \text{ est pair}).

Indication : Pour (4), utiliser \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}.

Exercice 11

Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p.

  1. Montrer que P(X > n) = (1-p)^n pour tout n \in \mathbb{N}.
  2. Calculer P(X = k \mid X > n) pour k \geq n+1.
  3. Vérifier la propriété d’absence de mémoire : P(X > n + m \mid X > n) = P(X > m).

Exercice 12

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \lambda.

  1. Déterminer la fonction génératrice G_X(s) = E(s^X).
  2. En déduire E(X) et V(X).
  3. Soient X et Y indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres \lambda et \mu. En utilisant les fonctions génératrices, montrer que X + Y suit une loi de Poisson de paramètre \lambda + \mu.

Exercice 13

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N}^* telle que : P(X = k) = \frac{1}{k(k+1)(k+2)} \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}^*

  1. Déterminer la constante c telle que P(X = k) = \frac{c}{k(k+1)(k+2)} définisse une loi de probabilité.
  2. Calculer E(X).

Exercice 14

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \lambda = 1.

  1. Calculer P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2).
  2. Calculer E(X^2).
  3. Calculer P(X \text{ est pair}).

On rappelle que \cosh(1) = \frac{e + e^{-1}}{2} \approx 1{,}543.

Exercice 15

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} telle que : P(X = k) = \frac{1}{(k+1)(k+2)} \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}

  1. Vérifier que cela définit bien une loi de probabilité.
  2. Calculer E(X).
  3. Calculer P(X \geq 3).

Indication : Pour (1), utiliser \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)(k+2)} = 1. Pour (2), utiliser \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k}{(k+1)(k+2)}.

Cours

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