TD — Couples de variables aléatoires discrètes finies

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 04. Lois marginales, lois conditionnelles, indépendance, covariance, coefficient de corrélation linéaire.

Exercice 1

On lance deux dés équilibrés. Soit X le résultat du premier dé et Y le résultat du second dé.

  1. Donner la loi conjointe de (X, Y).
  2. Donner les lois marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?
  4. Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y) et \operatorname{Cov}(X, Y).

Exercice 2

On lance une pièce équilibrée deux fois. Soit X le nombre de « pile » obtenus et Y le nombre de « face » obtenus.

  1. Donner la loi conjointe de (X, Y).
  2. Donner les lois marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?
  4. Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y), \operatorname{Cov}(X, Y) et \rho(X, Y).

Exercice 3

On considère le tableau de loi conjointe suivant :

X \setminus Y 0 1 2
0 0{,}1 0{,}2 0{,}1
1 0{,}1 0{,}1 0{,}2
  1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.
  2. Donner les lois marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?
  4. Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y), \operatorname{Cov}(X, Y) et \rho(X, Y).

Exercice 4

On considère le tableau de loi conjointe suivant :

X \setminus Y 0 1
0 a b
1 c d
  1. Quelle condition sur a, b, c, d pour que ce tableau définisse une loi de probabilité ?
  2. Quelle condition supplémentaire pour que X et Y soient indépendantes ?

Exercice 5

On lance trois pièces équilibrées. Soit X le nombre de « pile » et Y le nombre de « face ».

  1. Donner la loi conjointe de (X, Y).
  2. Donner les lois marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier.
  4. Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y), \operatorname{Cov}(X, Y).

Exercice 6

On tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes, puis une seconde boule sans remise. Soit X l’indicateur de « la première boule est rouge » et Y l’indicateur de « la seconde boule est rouge ».

  1. Donner la loi conjointe de (X, Y).
  2. Donner les lois marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?
  4. Calculer E(X), E(Y), \operatorname{Cov}(X, Y).

Exercice 7

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires tel que :

  • X suit une loi de Bernoulli de paramètre \frac{1}{2}
  • Y suit une loi de Bernoulli de paramètre \frac{1}{2}
  • P(X = 0, Y = 0) = \frac{1}{3}
  1. Donner la loi conjointe de (X, Y).
  2. X et Y sont-elles indépendantes ?
  3. Calculer \operatorname{Cov}(X, Y) et \rho(X, Y).

Exercice 8

On lance un dé équilibré. Soit X le résultat obtenu et Y l’indicateur de « le résultat est pair ».

  1. Donner la loi conjointe de (X, Y).
  2. Donner les lois marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?
  4. Calculer \operatorname{Cov}(X, Y).

Exercice 9

On considère le tableau de loi conjointe suivant :

X \setminus Y -1 0 1
-1 \frac{1}{8} 0 \frac{1}{8}
0 0 \frac{1}{4} 0
1 \frac{1}{8} 0 \frac{1}{8}
  1. Vérifier que ce tableau définit une loi de probabilité.
  2. Donner les lois marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?
  4. Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y), \operatorname{Cov}(X, Y) et \rho(X, Y).

Exercice 10

On lance deux pièces équilibrées. Soit X le nombre de « pile » et Y l’indicateur de « les deux pièces donnent le même résultat ».

  1. Donner la loi conjointe de (X, Y).
  2. Donner les lois marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?
  4. Calculer \operatorname{Cov}(X, Y) et \rho(X, Y).

Exercice 11

On considère deux variables aléatoires X et Y telles que E(X) = 2, E(Y) = 3, V(X) = 4, V(Y) = 9 et \operatorname{Cov}(X, Y) = 3.

  1. Calculer \rho(X, Y).
  2. Calculer V(X + Y) et V(X - Y).
  3. Calculer V(2X + 3Y).
  4. X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier.

Exercice 12

On lance un dé équilibré deux fois. Soit X la somme des deux résultats et Y la valeur absolue de la différence des deux résultats.

  1. Donner les lois marginales de X et Y.
  2. X et Y sont-elles indépendantes ?
  3. Calculer E(X), E(Y), \operatorname{Cov}(X, Y).

Exercice 13

On tire deux boules dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules vertes, avec remise. Soit X l’indicateur de « la première boule est rouge » et Y l’indicateur de « la seconde boule est rouge ».

  1. Donner la loi conjointe de (X, Y).
  2. X et Y sont-elles indépendantes ?
  3. Calculer E(X), E(Y), \operatorname{Cov}(X, Y).

Cours

📝 Chapitre 04 : Couples de variables aléatoires discrètes finies