TD — Rappels sur les sommes finies ; séries numériques

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 03. Sommes finies, séries géométriques, convergence absolue, série exponentielle.

Exercice 1

Calculer les sommes finies suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{k=1}^{50} k
  2. \displaystyle\sum_{k=1}^{20} k^2
  3. \displaystyle\sum_{k=0}^{10} 2^k
  4. \displaystyle\sum_{k=0}^{n} 3^k

Exercice 2

Calculer les sommes suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} (décomposition en éléments simples)
  2. \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
  3. \displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot 2^k

Indication : Pour (1) et (2), décomposer en éléments simples et utiliser une somme télescopique. Pour (3), dériver la somme géométrique.

Exercice 3

Étudier la convergence des séries suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}
  3. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}
  4. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}

Exercice 4

Étudier la convergence des séries suivantes à l’aide du critère de d’Alembert :

  1. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}
  3. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{n^2}
  4. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n}

Exercice 5

Étudier la convergence des séries suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n
  2. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{3}{2}\right)^n
  3. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n+1}

Exercice 6

Montrer que la série \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} converge et que sa somme est e.

En déduire la valeur de \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!}.

Exercice 7

Étudier la convergence absolue des séries suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n^2}
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}
  3. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n}{n^2}

Exercice 8

Calculer les sommes suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{3^n}
  2. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^n
  3. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{2^n}

Indication : Pour (2) et (3), dériver la somme de la série géométrique \sum x^n = \frac{1}{1-x}.

Exercice 9

Montrer que la série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} converge et calculer sa somme.

Exercice 10

Étudier la convergence des séries suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2}
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n}

Indication : Pour (1), montrer que \ln n \leq \sqrt{n} pour n assez grand. Pour (2), montrer que \frac{\ln n}{n} \geq \frac{1}{n} pour n \geq 3.

Exercice 11

Étudier la convergence des séries suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{n!}
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^2 + n + 1}
  3. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}

Lesquelles convergent absolument ? Lesquelles sont semi-convergentes ?

Exercice 12

On considère la série \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n où u_n = \dfrac{n!}{n^n}.

  1. Montrer que \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n.
  2. Montrer que \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to e^{-1} quand n \to +\infty.
  3. Conclure sur la convergence de la série.

Exercice 13

Montrer que \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}.

On pourra utiliser le développement en série de \arctan x = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} pour |x| < 1.

Exercice 14

Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} :

  1. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x
  2. En déduire que \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}
  3. En déduire que \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n)!} = \frac{e + e^{-1}}{2} = \cosh(1)

Cours

📝 Chapitre 03 : Sommes finies et séries numériques