TD — Compléments d’intégration : propriétés de l’intégrale

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 02. Linéarité, intégration par parties, positivité, comparaison d’intégrales.

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\, dx
  2. \displaystyle\int_0^1 x e^x\, dx
  3. \displaystyle\int_0^\pi x \cos x\, dx
  4. \displaystyle\int_1^e x \ln x\, dx

Indication : Pour (2), (3) et (4), utiliser une intégration par parties.

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes par intégration par parties :

  1. \displaystyle\int_0^1 x^2 e^x\, dx
  2. \displaystyle\int_0^\pi x^2 \sin x\, dx
  3. \displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\, dx

Exercice 3

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. \displaystyle\int_0^1 x^n e^x\, dx = e - n\int_0^1 x^{n-1} e^x\, dx
  2. En déduire \displaystyle\int_0^1 x^3 e^x\, dx.

Indication : Utiliser une intégration par parties avec u = x^n, v' = e^x.

Exercice 4

Soit f une fonction continue sur [0,1] telle que \displaystyle\int_0^1 f(t)\, dt = 0.

  1. Montrer que \displaystyle\int_0^1 (f(t))^2\, dt \geq 0.
  2. Montrer que \displaystyle\int_0^1 (f(t) - 1)^2\, dt = \int_0^1 (f(t))^2\, dt + 1.

Exercice 5

Montrer les inégalités suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\, dx \leq 1
  2. \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\, dx \geq e^{-1}
  3. \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx = \frac{\pi}{4}

En déduire un encadrement de \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\, dx.

Indication : Pour les deux premières inégalités, utiliser le fait que e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq 1 sur [0,1].

Exercice 6

Montrer que pour toute fonction continue f sur [0,1] :

  1. \left(\displaystyle\int_0^1 f(t)\, dt\right)^2 \leq \displaystyle\int_0^1 (f(t))^2\, dt
  2. En déduire que \left(\displaystyle\int_0^1 t e^t\, dt\right)^2 \leq \displaystyle\int_0^1 t^2 e^{2t}\, dt

Indication : Pour (1), appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec g = 1.

Exercice 7

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\, dx (changement de variable u = 1+x^2)
  2. \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\, dx
  3. \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx (changement de variable x = \sin \theta)

Exercice 8

Montrer que pour toute fonction continue f sur [0,1] :

  1. \displaystyle\int_0^1 f(t)\, dt = \int_0^1 f(1-t)\, dt (changement de variable u = 1-t)
  2. En déduire que \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx = \int_0^1 \frac{1}{1+(1-t)^2}\, dt

Exercice 9

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2 x\, dx
  2. \displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\, dx
  3. \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^4 x\, dx

On pourra utiliser les formules de linéarisation \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} et \cos^4 x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}.

Exercice 10

On définit pour tout n \in \mathbb{N}^* : I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\, dx.

  1. Montrer que I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}.
  2. En déduire que I_n \geq 0 et I_n \leq \dfrac{1}{n+1}.
  3. Calculer I_1, I_2, I_3.

Exercice 11

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. \displaystyle\int_0^1 (1-x)^n\, dx = \frac{1}{n+1}
  2. \displaystyle\int_0^1 x(1-x)^n\, dx = \frac{1}{(n+1)(n+2)}

Indication : Pour (2), utiliser un changement de variable u = 1-x ou une intégration par parties.

Exercice 12

Soit n \in \mathbb{N}^*. On pose I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^n t\, dt.

  1. Montrer que I_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2} I_n.
  2. Calculer I_0 et I_1.
  3. En déduire I_{2p} et I_{2p+1} pour tout p \in \mathbb{N}.

Cours

📝 Chapitre 02 : Compléments d’intégration