Cours – Compléments d’intégration : propriétés de l’intégrale
Chapitre 02
ECT2 (2e année) — Chapitre 02. Linéarité, intégration par parties, positivité, comparaison d’intégrales.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Rappel : fonctions continues par morceaux
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Fonction continue par morceaux)
Une fonction f : [a,b] \to \mathbb{R} est continue par morceaux s’il existe une subdivision a = x_0 < x_1 < \cdots < x_p = b telle que f est continue sur chaque intervalle ouvert ]x_i, x_{i+1}[ et admet des limites finies à gauche et à droite en chaque x_i.
Exemple 1.1
- Toute fonction continue sur [a,b] est continue par morceaux.
- La fonction partie entière x \mapsto E(x) est continue par morceaux sur \mathbb{R}.
- La fonction f(x) = \sin(1/x) prolongée par f(0) = 0 n’est pas continue par morceaux sur [0,1] car elle n’admet pas de limite finie en 0^+.
2 Définition de l’intégrale
Définition 2.1 — (Intégrale d’une fonction continue par morceaux)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue par morceaux. On définit l’intégrale : \int_a^b f(t)\,dt comme la limite des sommes de Riemann. Si F est une primitive de f sur [a,b], alors : \int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a) = [F(t)]_a^b
Proposition 2.1 — (Relation de Chasles)
Pour tout c \in [a,b] : \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^c f(t)\,dt + \int_c^b f(t)\,dt
Proposition 2.2 — (Convention)
\int_a^a f(t)\,dt = 0, \qquad \int_b^a f(t)\,dt = -\int_a^b f(t)\,dt
3 Linéarité
Proposition 3.1 — (Linéarité de l’intégrale)
Soient f, g continues par morceaux sur [a,b] et \lambda, \mu \in \mathbb{R}. Alors : \int_a^b (\lambda f + \mu g)(t)\,dt = \lambda \int_a^b f(t)\,dt + \mu \int_a^b g(t)\,dt
Exemple 3.1
\int_0^1 (3t^2 + 2t)\,dt = 3\int_0^1 t^2\,dt + 2\int_0^1 t\,dt = 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2
4 Positivité et comparaison
4.1 Positivité
Proposition 4.1 — (Positivité)
Si f \geq 0 sur [a,b] (avec a \leq b), alors : \int_a^b f(t)\,dt \geq 0 De plus, si f est continue, f \geq 0 et f \not\equiv 0, alors \int_a^b f(t)\,dt > 0.
4.2 Comparaison
Proposition 4.2 — (Comparaison)
Si f \leq g sur [a,b], alors : \int_a^b f(t)\,dt \leq \int_a^b g(t)\,dt
Proposition 4.3 — (Inégalité triangulaire)
\left|\int_a^b f(t)\,dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|\,dt
Proposition 4.4 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Pour f, g continues par morceaux sur [a,b] : \left(\int_a^b f(t)g(t)\,dt\right)^2 \leq \int_a^b f(t)^2\,dt \cdot \int_a^b g(t)^2\,dt
Exemple 4.1 — (Application de Cauchy-Schwarz)
Montrons que \left(\int_0^1 f(t)\,dt\right)^2 \leq \int_0^1 f(t)^2\,dt. En appliquant Cauchy-Schwarz avec g(t) = 1 : \left(\int_0^1 f(t) \cdot 1\,dt\right)^2 \leq \int_0^1 f(t)^2\,dt \cdot \int_0^1 1\,dt = \int_0^1 f(t)^2\,dt
5 Intégration par parties
Théorème 5.1 — (Intégration par parties)
Soient u, v de classe \mathcal{C}^1 sur [a,b]. Alors : \int_a^b u(t)v'(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,dt
Exemple 5.1 — (Calcul par parties)
Calculons \int_0^1 t e^t\,dt. On pose u(t) = t, v'(t) = e^t, donc u'(t) = 1, v(t) = e^t : \int_0^1 t e^t\,dt = [te^t]_0^1 - \int_0^1 e^t\,dt = e - [e^t]_0^1 = e - (e - 1) = 1
Exemple 5.2 — (Calcul par parties itérées)
Calculons \int_0^1 t^2 e^t\,dt. Première intégration par parties : u(t) = t^2, v'(t) = e^t : \int_0^1 t^2 e^t\,dt = [t^2 e^t]_0^1 - 2\int_0^1 t e^t\,dt = e - 2 \cdot 1 = e - 2 (en utilisant le résultat précédent \int_0^1 t e^t\,dt = 1).
Exemple 5.3 — (Calcul de \boldsymbol{\int_0^1 \ln t,dt})
On pose u(t) = \ln t, v'(t) = 1, donc u'(t) = 1/t, v(t) = t : \int_\varepsilon^1 \ln t\,dt = [t\ln t]_\varepsilon^1 - \int_\varepsilon^1 1\,dt = -\varepsilon \ln \varepsilon - (1 - \varepsilon) En faisant tendre \varepsilon \to 0^+, on obtient \int_0^1 \ln t\,dt = -1.
6 Changement de variable
Théorème 6.1 — (Changement de variable)
Soit \varphi : [\alpha, \beta] \to [a,b] de classe \mathcal{C}^1 et f continue sur [a,b]. Alors : \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)\,du
Exemple 6.1 — (Changement de variable)
Calculons \int_0^1 \frac{2t}{1+t^2}\,dt. On pose u = 1 + t^2, donc du = 2t\,dt : \int_0^1 \frac{2t}{1+t^2}\,dt = \int_1^2 \frac{du}{u} = [\ln u]_1^2 = \ln 2
Exemple 6.2 — (Changement de variable trigonométrique)
Calculons \int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,dt. On pose t = \sin \theta, donc dt = \cos\theta\,d\theta : \int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,dt = \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{\pi}{4} (C’est l’aire du quart de disque unité.)
7 Théorème fondamental du calcul intégral
Théorème 7.1 — (Théorème fondamental)
Soit f continue sur [a,b]. La fonction F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt est de classe \mathcal{C}^1 sur [a,b] et : F'(x) = f(x) Autrement dit, F est une primitive de f sur [a,b].
Exemple 7.1
Soit F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt. Alors F'(x) = e^{-x^2}.
Exemple 7.2 — (Dérivation d’une intégrale à bornes variables)
Soit G(x) = \int_x^{x^2} e^t\,dt. Alors : G'(x) = 2x \cdot e^{x^2} - e^x (formule : si G(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt, alors G'(x) = v'(x)f(v(x)) - u'(x)f(u(x))).
8 Valeur moyenne
Définition 8.1 — (Valeur moyenne)
La valeur moyenne de f sur [a,b] est : \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt
Proposition 8.1 — (Théorème de la moyenne)
Si f est continue sur [a,b], alors il existe c \in [a,b] tel que : \int_a^b f(t)\,dt = f(c)(b-a)
9 Exercices
Exercice 9.1
Calculer les intégrales suivantes : - \int_0^1 (2t^3 - 3t + 1)\,dt - \int_0^1 t e^{-t}\,dt - \int_0^\pi t \cos t\,dt
Exercice 9.2
Calculer \int_0^1 t^2 \ln t\,dt par intégration par parties.
Exercice 9.3
Montrer que pour tout x \in [0,1] : \frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x. En déduire un encadrement de \int_0^1 \ln(1+x)\,dx.
Exercice 9.4
Calculer \int_0^1 \frac{t}{1+t^2}\,dt par changement de variable.
Exercice 9.5
Montrer par intégration par parties que \int_0^\pi t \sin t\,dt = \pi.
Exercice 9.6
Montrer que \left(\int_0^1 f(t)\,dt\right)^2 \leq \int_0^1 f(t)^2\,dt pour toute fonction continue f sur [0,1].
Exercice 9.7
Soit f continue sur [0,1] telle que \int_0^1 f(t)\,dt = 0. Montrer que \int_0^1 f(t)^2\,dt \geq 0 et que l’égalité a lieu si et seulement si f \equiv 0.
Exercice 9.8
Calculer \int_0^1 \frac{1}{1+t^2}\,dt par changement de variable t = \tan \theta.