Cours – Matrices
Chapitre 01
ECT2 (2e année) — Chapitre 01. Matrices carrées, inversibilité, puissances, formule du binôme, écriture matricielle des systèmes linéaires.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Définitions générales
1.1 Définition d’une matrice
Définition 1.1 — (Matrice)
Une matrice A de taille n \times p à coefficients dans \mathbb{R} est un tableau rectangulaire de n lignes et p colonnes : A = (a_{ij})_{1 \leq i \leq n, \; 1 \leq j \leq p} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix} L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels est noté \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}).
Exemple 1.1
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix} est une matrice 2 \times 3 avec a_{11} = 1, a_{23} = 7.
1.2 Matrices particulières
Définition 1.2 — (Matrices particulières)
On distingue plusieurs types de matrices : - La matrice nulle 0_{n,p} : tous ses coefficients sont nuls. - La matrice carrée : n = p (même nombre de lignes et de colonnes). On note \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). - La matrice diagonale : a_{ij} = 0 pour i \neq j. On note \mathrm{diag}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n). - La matrice identité I_n : a_{ii} = 1 et a_{ij} = 0 pour i \neq j. - La matrice triangulaire supérieure : a_{ij} = 0 pour i > j. - La matrice triangulaire inférieure : a_{ij} = 0 pour i < j.
Exemple 1.2
\mathrm{diag}(2, -3, 5) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2 Opérations sur les matrices
2.1 Addition et multiplication par un scalaire
Définition 2.1 — (Addition et produit par un scalaire)
Soient A = (a_{ij}) et B = (b_{ij}) deux matrices de \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), et \lambda \in \mathbb{R}. A + B = (a_{ij} + b_{ij}), \qquad \lambda A = (\lambda a_{ij})
Proposition 2.1 — (Propriétés)
(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), +) est un groupe abélien : - A + B = B + A (commutativité) - (A + B) + C = A + (B + C) (associativité) - A + 0_{n,p} = A (élément neutre) - \lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B, (\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A
2.2 Produit matriciel
Définition 2.2 — (Produit matriciel)
Soient A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) et B = (b_{ij}) \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R}). Le produit AB est la matrice de \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R}) définie par : (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj} Le produit AB n’est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Exemple 2.1
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 11 & 14 \end{pmatrix}
Proposition 2.2 — (Propriétés du produit)
- Associativité : (AB)C = A(BC)
- Distributivité : A(B + C) = AB + AC et (A + B)C = AC + BC
- Élément neutre : I_n A = A et A I_p = A
- Attention : le produit n’est pas commutatif en général : AB \neq BA.
- Attention : AB = 0 n’implique pas A = 0 ou B = 0.
Exemple 2.2 — (Non-commutativité)
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{mais} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
3 Puissances et formule du binôme
3.1 Puissances
Définition 3.1 — (Puissance d’une matrice)
Pour A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), on définit par récurrence : A^0 = I_n, \qquad A^{k+1} = A^k \cdot A
3.2 Formule du binôme
Théorème 3.1 — (Formule du binôme matricielle)
Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) qui commutent (AB = BA). Alors pour tout m \in \mathbb{N} : (A + B)^m = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} A^{m-k} B^k
Exemple 3.1 — (Calcul de \boldsymbol{A^m} avec une matrice nilpotente)
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. On écrit A = I_2 + N avec N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. Comme N^2 = 0 et I_2 commute avec N, la formule du binôme donne : A^m = I_2 + mN = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
4 Matrices inversibles
4.1 Définition et propriétés
Définition 4.1 — (Matrice inversible)
A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est inversible s’il existe B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telle que : AB = BA = I_n La matrice B, unique, est notée A^{-1}. L’ensemble des matrices inversibles est noté GL_n(\mathbb{R}).
Proposition 4.1 — (Formule pour les matrices \boldsymbol{2 \times 2})
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} est inversible si et seulement si ad - bc \neq 0. Dans ce cas : A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
Proposition 4.2 — (Propriétés)
- (A^{-1})^{-1} = A
- (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}
- (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
- (\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1} pour \lambda \neq 0
4.2 Méthode du pivot de Gauss
Exemple 4.1 — (Calcul d’inverse par Gauss)
Calculons l’inverse de A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. On a ad - bc = 4 - 6 = -2 \neq 0, donc A est inversible : A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
5 Écriture matricielle des systèmes linéaires
5.1 Formulation
Définition 5.1 — (Système linéaire)
Un système linéaire de n équations à p inconnues s’écrit : \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1p}x_p = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2p}x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{np}x_p = b_n \end{cases} et s’écrit sous forme matricielle AX = B avec : A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^p, \quad B = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n
5.2 Résolution
Théorème 5.1 — (Théorème de Cramer)
Si A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est inversible, alors le système AX = B admet une unique solution : X = A^{-1}B
Exemple 5.1 — (Résolution d’un système)
Résolvons le système : \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}. On a A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}. \det(A) = -2 - 2 = -3 \neq 0, donc A est inversible : A^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \cdot 5 + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ \frac{1}{3} \cdot 5 - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
Proposition 5.1 — (Cas des systèmes homogènes)
Le système homogène AX = 0 admet toujours la solution triviale X = 0. - Si A est inversible, alors X = 0 est l’unique solution. - Si A n’est pas inversible, alors le système admet une infinité de solutions.
6 Exercices
Exercice 6.1
Calculer A^2, A^3 et A^n pour A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Exercice 6.2
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. Calculer A^{-1} et vérifier que AA^{-1} = I_2.
Exercice 6.3
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Écrire A = 2I_2 + N et calculer A^n par la formule du binôme.
Exercice 6.4
Résoudre le système : \begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y - z = 0 \\ x - y + z = 1 \end{cases}.
Exercice 6.5
Soit A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Montrer que si ad - bc \neq 0, alors A est inversible et donner A^{-1}.
Exercice 6.6
Montrer que pour A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : (AB)^T = B^T A^T.