TD — Matrices

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 01. Matrices carrées, inversibilité, puissances, formule du binôme, écriture matricielle des systèmes linéaires.

Exercice 1

Soient A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer AB, BA, A^2, B^2.
  2. Vérifier que AB \neq BA.
  3. Calculer (A+B)^2 et vérifier que (A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2.

Exercice 2

Calculer les puissances A^2, A^3 puis A^n pour tout n \in \mathbb{N} des matrices suivantes :

  1. A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
  3. C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Indication : Pour A, écrire A = I_2 + N avec N^2 = 0. Pour C, écrire C = I_3 + N avec N^3 = 0.

Exercice 3

Pour quelles valeurs de a les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Calculer leur inverse le cas échéant.

  1. A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix}
  2. B = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}
  3. C = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}

Exercice 4

Résoudre les systèmes linéaires suivants par la méthode matricielle :

  1. \begin{cases} 3x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}
  2. \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 2 \end{cases}
  3. \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \\ 3x + 3y + 3z = 3 \end{cases}

Que peut-on dire du nombre de solutions dans chaque cas ?

Exercice 5

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer A^2.
  2. En déduire A^n pour tout n \in \mathbb{N}^*.

Exercice 6

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer AB et BA.
  2. A et B sont-elles inversibles ? Calculer leurs inverses.
  3. Calculer (AB)^{-1} et vérifier que (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.

Exercice 7

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Écrire A = I_3 + N et calculer N^2, N^3.
  2. En utilisant la formule du binôme, calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 8

Résoudre les systèmes suivants et discuter selon le paramètre a :

  1. \begin{cases} x + y = 1 \\ ax + y = 2 \end{cases}
  2. \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + ay + z = 2 \\ x + y + az = 3 \end{cases}

Exercice 9

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

  1. Calculer A^2, A^3, A^4.
  2. Établir une relation entre A^{n+2}, A^{n+1} et A^n.
  3. En déduire que A^n = F_n A + F_{n-1} I_2 où (F_n) est la suite de Fibonacci définie par F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n.

Exercice 10

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Vérifier que A est inversible et calculer A^{-1}.
  2. Calculer \operatorname{tr}(A) et \det(A).
  3. Vérifier que A^2 - 4A + 3I_2 = 0 (théorème de Cayley-Hamilton pour n=2).
  4. En déduire A^{-1} en fonction de A et I_2.

Exercice 11

Résoudre le système suivant par la méthode de Cramer : \begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{cases}

On vérifie d’abord que le déterminant de la matrice du système est non nul.

Exercice 12

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & j & j^2 \\ 1 & j^2 & j \end{pmatrix} où j = e^{2i\pi/3}.

  1. Calculer A^2.
  2. En déduire que A est inversible et calculer A^{-1}.

Cours

📝 Chapitre 01 : Matrices