Cours – Rappels sur les sommes finies de réels ; séries numériques
Chapitre 03
ECT2 (2e année) — Chapitre 03. Sommes finies, séries géométriques, convergence absolue, série exponentielle.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Sommes finies
1.1 Notation et propriétés
Définition 1.1 — (Somme finie)
Soient a_0, a_1, \ldots, a_n des réels. On note : \sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + \cdots + a_n Par convention, une somme vide est nulle : \sum_{k=p}^n a_k = 0 si n < p.
Proposition 1.1 — (Linéarité)
Pour tous réels \lambda, \mu et toutes suites (a_k), (b_k) : \sum_{k=p}^n (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda \sum_{k=p}^n a_k + \mu \sum_{k=p}^n b_k
Proposition 1.2 — (Relation de Chasles)
Pour p \leq m \leq n : \sum_{k=p}^n a_k = \sum_{k=p}^m a_k + \sum_{k=m+1}^n a_k
Proposition 1.3 — (Changement d’indice)
Pour toute suite (a_k) : \sum_{k=p}^n a_k = \sum_{k=p+r}^{n+r} a_{k-r} = \sum_{k=0}^{n-p} a_{k+p}
Proposition 1.4 — (Sommes doubles)
Pour une famille (a_{ij}) à indices dans un ensemble fini : \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^p a_{ij} = \sum_{j=0}^p \sum_{i=0}^n a_{ij} Si les indices sont liés, par exemple 0 \leq i \leq j \leq n : \sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{ij} = \sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^j a_{ij}
1.2 Sommes usuelles
Proposition 1.5 — (Sommes de référence)
Pour tout n \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
Proposition 1.6 — (Somme géométrique finie)
Pour q \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{N} : \sum_{k=0}^n q^k = \begin{cases} n+1 & \text{si } q = 1 \\ \frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si } q \neq 1 \end{cases}
Exemple 1.1
Calculons \sum_{k=0}^n k \cdot q^k pour q \neq 1. En dérivant la somme géométrique par rapport à q : \sum_{k=0}^n k q^{k-1} = \frac{d}{dq}\left(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right) d’où : \sum_{k=0}^n k q^k = q \cdot \frac{1-(n+1)q^n + nq^{n+1}}{(1-q)^2}
1.3 Sommes télescopiques
Définition 1.2 — (Somme télescopique)
Une somme de la forme : \sum_{k=p}^n (b_{k+1} - b_k) = b_{n+1} - b_p s’appelle une somme télescopique.
Exemple 1.2
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}
Exemple 1.3
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)
2 Séries numériques
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Série numérique)
Une série de terme général u_n est la suite des sommes partielles : S_n = \sum_{k=0}^n u_k On la note \sum u_n. La série converge si (S_n) converge vers une limite S, appelée somme de la série : S = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \lim_{n \to +\infty} S_n Le reste d’ordre n est R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k.
Proposition 2.1 — (Condition nécessaire)
Si \sum u_n converge, alors u_n \to 0.
Remarque. Si u_n ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement.
2.2 Série géométrique
Théorème 2.1 — (Série géométrique)
La série \sum_{n=0}^{+\infty} q^n converge si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas : \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}
Preuve. La somme partielle est S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. Si |q| < 1, alors q^{n+1} \to 0, donc S_n \to \frac{1}{1-q}. Si |q| \geq 1, le terme général ne tend pas vers 0.
Exemple 2.1
\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2 \sum_{n=0}^{+\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1+\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}
Proposition 2.2 — (Série géométrique dérivée)
Pour |q| < 1 : \sum_{n=1}^{+\infty} n q^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2} d’où \sum_{n=1}^{+\infty} n q^n = \frac{q}{(1-q)^2}.
2.3 Série exponentielle
Théorème 2.2 — (Série exponentielle)
Pour tout x \in \mathbb{R}, la série \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} converge absolument et : \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x
Preuve. Le critère de d’Alembert donne : \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{|x|^n} = \frac{|x|}{n+1} \to 0 < 1 donc la série converge absolument pour tout x. L’identité \sum \frac{x^n}{n!} = e^x est la définition de l’exponentielle réelle.
Proposition 2.3 — (Série exponentielle pour les sommes)
Pour x, y \in \mathbb{R} : e^{x+y} = e^x \cdot e^y
Proposition 2.4 — (Applications)
En x = 1 : \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = e. En x = -1 : \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}.
3 Convergence absolue
Définition 3.1 — (Convergence absolue)
La série \sum u_n est absolument convergente si \sum |u_n| converge.
Théorème 3.1
Toute série absolument convergente est convergente. De plus : \left|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|
Remarque. La réciproque est fausse : \sum \frac{(-1)^n}{n} converge mais pas absolument.
3.1 Critères pour les séries à termes positifs
Proposition 3.1 — (Comparaison)
Soient (u_n), (v_n) à termes positifs avec 0 \leq u_n \leq v_n à partir d’un certain rang. Si \sum v_n converge, alors \sum u_n converge. Si \sum u_n diverge, alors \sum v_n diverge.
Proposition 3.2 — (Équivalence)
Si u_n \sim v_n avec u_n, v_n \geq 0, alors \sum u_n et \sum v_n sont de même nature.
Proposition 3.3 — (Critère de d’Alembert)
Soit (u_n) à termes strictement positifs. Si \frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell : - Si \ell < 1 : \sum u_n converge. - Si \ell > 1 : \sum u_n diverge. - Si \ell = 1 : on ne peut pas conclure.
Proposition 3.4 — (Séries de Riemann)
La série \sum \frac{1}{n^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1.
Exemple 3.1 — (Applications)
\sum \frac{1}{n^2} converge (\alpha = 2 > 1). \sum \frac{1}{n} diverge (\alpha = 1). \sum \frac{1}{\sqrt{n}} diverge (\alpha = \frac{1}{2} < 1).
4 Exercices
Exercice 4.1
Calculer les sommes suivantes : \sum_{k=1}^{100} k \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} \sum_{k=0}^n \frac{k}{2^k}
Exercice 4.2
Étudier la convergence des séries suivantes : \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^2+1} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^n}
Exercice 4.3
Étudier la convergence de \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}. La convergence est-elle absolue ?
Exercice 4.4
Étudier la convergence de \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} pour x \in \mathbb{R}.
Exercice 4.5
Étudier la convergence de \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2} en utilisant une comparaison avec \sum \frac{1}{n^{3/2}}.
Exercice 4.6
Calculer \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{2^n} en utilisant la série géométrique dérivée.
Exercice 4.7
Étudier la convergence de \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}. La série est-elle absolument convergente ?
Exercice 4.8
Calculer la somme \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{3^n}.
Document en PDF
📝 Chapitre 03 : Rappels sur les sommes finies ; séries numériques
Voir TD
✍️ TD 03 : Rappels sur les sommes finies ; séries numériques