Cours – Couples de variables aléatoires discrètes finies
Chapitre 04
ECT2 (2e année) — Chapitre 04. Lois marginales, lois conditionnelles, indépendance, covariance, coefficient de corrélation linéaire.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
Dans tout ce chapitre, (\Omega, P) est un espace probabilisé fini, et X, Y sont deux variables aléatoires réelles finies sur (\Omega, P).
1 Couples de variables aléatoires
1.1 Loi conjointe
Définition 1.1 — (Loi conjointe)
La loi conjointe du couple (X, Y) est l’application qui associe à chaque couple (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega) la probabilité : P(X = x, Y = y) = P(\{X = x\} \cap \{Y = y\})
Exemple 1.1
On lance deux dés équilibrés. Soit X le résultat du premier dé et Y le résultat du second dé. La loi conjointe est : P(X = i, Y = j) = \frac{1}{36} \quad \text{pour } i, j \in \{1, 2, \ldots, 6\}
Proposition 1.1 — (Somme des probabilités)
La loi conjointe vérifie : \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)} P(X = x, Y = y) = 1
2 Lois marginales
Définition 2.1 — (Loi marginale)
La loi marginale de X est : P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P(X = x, Y = y) La loi marginale de Y est : P(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} P(X = x, Y = y)
Exemple 2.1
Dans le cas de deux dés, la loi marginale de X est : P(X = i) = \sum_{j=1}^6 \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
Proposition 2.1 — (Tableau de la loi conjointe)
La loi conjointe peut être représentée dans un tableau à double entrée : | | y_1 | y_2 | \cdots | y_m | Marges de X | |—|—|—|—|—|—| | x_1 | p_{11} | p_{12} | \cdots | p_{1m} | P(X=x_1) | | x_2 | p_{21} | p_{22} | \cdots | p_{2m} | P(X=x_2) | | \vdots | \vdots | \vdots | \vdots | \vdots | \vdots | | Marges de Y | P(Y=y_1) | P(Y=y_2) | \cdots | P(Y=y_m) | 1 |
3 Lois conditionnelles
Définition 3.1 — (Loi conditionnelle)
Si P(Y = y) > 0, la loi conditionnelle de X sachant Y = y est : P(X = x \mid Y = y) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P(Y = y)}
Proposition 3.1 — (Propriétés)
Pour y fixé avec P(Y = y) > 0 : \sum_x P(X = x \mid Y = y) = 1 P(X = x \mid Y = y) \geq 0
Exemple 3.1 — (Formule des probabilités totales)
Si Y prend les valeurs y_1, \ldots, y_m : P(X = x) = \sum_{j=1}^m P(X = x \mid Y = y_j) P(Y = y_j)
Exemple 3.2 — (Formule de Bayes)
Si P(X = x) > 0 : P(Y = y \mid X = x) = \frac{P(X = x \mid Y = y) P(Y = y)}{P(X = x)}
4 Indépendance
4.1 Définition
Définition 4.1 — (Indépendance de deux variables aléatoires)
X et Y sont indépendantes si pour tous x \in X(\Omega) et y \in Y(\Omega) : P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y)
Proposition 4.1 — (Caractérisation par les lois conditionnelles)
X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout y avec P(Y = y) > 0 : P(X = x \mid Y = y) = P(X = x)
Exemple 4.1
Deux lancers de dés équilibrés sont indépendants car : P(X = i, Y = j) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = P(X = i) P(Y = j)
Proposition 4.2 — (Indépendance et fonctions)
Si X et Y sont indépendantes, alors pour toutes fonctions g, h : g(X) et h(Y) sont indépendantes.
5 Espérance et covariance
5.1 Espérance d’un couple
Proposition 5.1 — (Linéarité de l’espérance)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Proposition 5.2 — (Espérance d’un produit)
Si X et Y sont indépendantes : E(XY) = E(X) E(Y)
5.2 Covariance
Définition 5.1 — (Covariance)
La covariance de X et Y est : \mathrm{cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X) E(Y)
Proposition 5.3 — (Propriétés de la covariance)
\mathrm{cov}(X, X) = V(X) \mathrm{cov}(X, Y) = \mathrm{cov}(Y, X) \mathrm{cov}(aX + b, Y) = a \, \mathrm{cov}(X, Y) \mathrm{cov}(X + Y, Z) = \mathrm{cov}(X, Z) + \mathrm{cov}(Y, Z)
Proposition 5.4 — (Variance d’une somme)
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\mathrm{cov}(X, Y)
Proposition 5.5 — (Indépendance implique covariance nulle)
Si X et Y sont indépendantes, alors \mathrm{cov}(X, Y) = 0.
Remarque. La réciproque est fausse : \mathrm{cov}(X, Y) = 0 n’implique pas l’indépendance.
6 Coefficient de corrélation linéaire
Définition 6.1 — (Coefficient de corrélation)
Si V(X) > 0 et V(Y) > 0, le coefficient de corrélation linéaire est : \rho(X, Y) = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sqrt{V(X)} \sqrt{V(Y)}}
Proposition 6.1 — (Propriétés)
-1 \leq \rho(X, Y) \leq 1 |\rho(X, Y)| = 1 si et seulement s’il existe a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} tels que Y = aX + b presque sûrement.
Proposition 6.2 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
|\mathrm{cov}(X, Y)| \leq \sqrt{V(X)} \sqrt{V(Y)}
Preuve. On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz à (X - E(X)) et (Y - E(Y)) : |E((X - E(X))(Y - E(Y)))| \leq \sqrt{E((X - E(X))^2)} \sqrt{E((Y - E(Y))^2)}
Exemple 6.1 — (Interprétation)
\rho(X, Y) = 1 : corrélation linéaire positive parfaite. \rho(X, Y) = -1 : corrélation linéaire négative parfaite. \rho(X, Y) = 0 : pas de corrélation linéaire (mais pas nécessairement indépendance).
7 Exercices
Exercice 7.1
On lance deux dés équilibrés. Soit X le résultat du premier dé et Y le résultat du second dé. Déterminer la loi conjointe de (X, Y). Déterminer les lois marginales de X et Y. X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer E(X), E(Y), \mathrm{cov}(X, Y).
Exercice 7.2
On lance un dé équilibré. Soit X le résultat et Y = X^2. Déterminer la loi conjointe de (X, Y). X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer \mathrm{cov}(X, Y).
Exercice 7.3
On lance deux pièces équilibrées. Soit X le nombre de piles et Y le nombre de faces. Déterminer la loi conjointe de (X, Y). X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer \mathrm{cov}(X, Y) et \rho(X, Y).
Exercice 7.4
On lance trois pièces équilibrées. Soit X le nombre de piles et Y le nombre de faces. Déterminer la loi conjointe de (X, Y). Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y), \mathrm{cov}(X, Y).
Exercice 7.5
On considère le tableau de la loi conjointe suivant : | | 0 | 1 | |—|—|—| | 0 | 0{,}2 | 0{,}3 | | 1 | 0{,}1 | 0{,}2 | Déterminer les lois marginales de X et Y. X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer \mathrm{cov}(X, Y) et \rho(X, Y).
Exercice 7.6
On considère le tableau de la loi conjointe suivant : | | 0 | 1 | 2 | |—|—|—|—| | 0 | 0{,}1 | 0{,}2 | 0{,}1 | | 1 | 0{,}2 | 0{,}1 | 0{,}1 | Déterminer les lois marginales de X et Y. X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer \mathrm{cov}(X, Y) et \rho(X, Y).
Exercice 7.7
On lance deux dés équilibrés. Soit X le résultat du premier dé et Y = X + Y. Déterminer la loi conjointe de (X, Y). Calculer \mathrm{cov}(X, Y) et \rho(X, Y).
Exercice 7.8
On considère le tableau de la loi conjointe suivant : | | 0 | 1 | 2 | |—|—|—|—| | 0 | 0{,}1 | 0{,}2 | 0{,}1 | | 1 | 0{,}2 | 0{,}1 | 0{,}1 | Déterminer les lois conditionnelles de X sachant Y = 0 et Y = 1. Calculer E(X \mid Y = 0) et E(X \mid Y = 1).
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📝 Chapitre 04 : Couples de variables aléatoires discrètes finies