TD — Estimation

Chapitre 11

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT2 (2e année) — TD du Chapitre 11. Estimation ponctuelle, estimation par intervalle de confiance, intervalles de confiance au seuil 90% et 95%.

Exercice 1

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur [0, \theta].

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur de \theta/2.
  2. En déduire un estimateur de \theta.

Exercice 2

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètre \lambda.

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur de 1/\lambda.
  2. Calculer E(\overline{X}_n) et V(\overline{X}_n).

Exercice 3

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2.

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur sans biais de \mu.
  2. Montrer que S_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 est un estimateur biaisé de \sigma^2.
  3. Montrer que s_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 est un estimateur sans biais de \sigma^2.

Exercice 4

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) avec \sigma connu.

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur sans biais de \mu.
  2. Calculer V(\overline{X}_n).
  3. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.

Exercice 5

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 16. On observe \overline{X}_{100} = 10.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 6

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 25. On observe \overline{X}_{100} = 20.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 7

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 9. On observe \overline{X}_{100} = 15.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 8

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 36. On observe \overline{X}_{100} = 30.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 9

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 16. On observe \overline{X}_{100} = 12.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 10

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 49. On observe \overline{X}_{100} = 25.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 11

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 64. On observe \overline{X}_{100} = 40.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 12

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 100. On observe \overline{X}_{100} = 50.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 13

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 81. On observe \overline{X}_{100} = 35.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 14

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 144. On observe \overline{X}_{100} = 60.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 15

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 16. On observe \overline{X}_{100} = 8.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 16

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 9. On observe \overline{X}_{100} = 12.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 17

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 25. On observe \overline{X}_{100} = 18.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 18

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 36. On observe \overline{X}_{100} = 22.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 19

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 64. On observe \overline{X}_{100} = 28.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 20

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 100. On observe \overline{X}_{100} = 45.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Exercice 21

Soit (X_1, \ldots, X_{100}) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2 = 49. On observe \overline{X}_{100} = 30.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.

Cours

📝 Chapitre 11 : Estimation