Cours – Estimation
Chapitre 11
ECT2 (2e année) — Chapitre 11. Estimation ponctuelle, estimation par intervalle de confiance, intervalles de confiance au seuil 90% et 95%.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Estimation ponctuelle
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Estimateur)
Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de n variables aléatoires indépendantes de même loi dépendant d’un paramètre \theta. Un estimateur de \theta est une statistique T_n = g(X_1, \ldots, X_n).
Exemple 1.1 — (Exemples d’estimateurs)
- \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k est un estimateur de E(X_1).
- S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (X_k - \overline{X}_n)^2 est un estimateur de V(X_1).
1.2 Estimateurs sans biais
Définition 1.2 — (Estimateur sans biais)
Un estimateur T_n de \theta est sans biais si E(T_n) = \theta pour tout \theta.
Proposition 1.1
- \overline{X}_n est un estimateur sans biais de E(X_1).
- S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (X_k - \overline{X}_n)^2 est un estimateur biaisé de V(X_1), avec E(S_n^2) = \frac{n-1}{n} V(X_1).
- s_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n (X_k - \overline{X}_n)^2 est un estimateur sans biais de V(X_1).
2 Estimation par intervalle de confiance
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Intervalle de confiance)
Un intervalle de confiance de niveau 1 - \alpha pour \theta est un intervalle aléatoire [T_n^-, T_n^+] tel que : P(T_n^- \leq \theta \leq T_n^+) \geq 1 - \alpha
2.2 Intervalle de confiance pour une moyenne
Théorème 2.1 — (Intervalle de confiance pour une moyenne)
Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de n variables aléatoires indépendantes de même loi d’espérance \mu et de variance \sigma^2 connue. Alors : \left[\overline{X}_n - \frac{\sigma z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}, \overline{X}_n + \frac{\sigma z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}\right] est un intervalle de confiance de niveau 1 - \alpha pour \mu, où z_{\alpha/2} est le quantile de la loi normale centrée réduite : P(|Z| \leq z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha \quad \text{avec } Z \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1)
Exemple 2.1 — (Valeurs usuelles)
| Niveau 1 - \alpha | z_{\alpha/2} |
|---|---|
| 90\% | 1.64 |
| 95\% | 1.96 |
| 99\% | 2.58 |
2.3 Intervalle de confiance pour une proportion
Théorème 2.2 — (Intervalle de confiance pour une proportion)
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p) avec n grand. Alors : \left[\frac{X}{n} - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{(X/n)(1 - X/n)}{n}}, \frac{X}{n} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{(X/n)(1 - X/n)}{n}}\right] est un intervalle de confiance approché de niveau 1 - \alpha pour p.
3 Intervalle de confiance au seuil 90%
Exemple 3.1 — (Seuil 90%)
Pour un seuil de 90\%, on a z_{\alpha/2} = 1.64. Donc l’intervalle de confiance pour une moyenne est : \left[\overline{X}_n - \frac{1.64 \sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}_n + \frac{1.64 \sigma}{\sqrt{n}}\right]
4 Intervalle de confiance au seuil 95%
Exemple 4.1 — (Seuil 95%)
Pour un seuil de 95\%, on a z_{\alpha/2} = 1.96. Donc l’intervalle de confiance pour une moyenne est : \left[\overline{X}_n - \frac{1.96 \sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}_n + \frac{1.96 \sigma}{\sqrt{n}}\right]
5 Exercices
Exercice 5.1
Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de n variables aléatoires indépendantes de même loi d’espérance \mu et de variance \sigma^2 = 4 connue. On observe \overline{X}_n = 10 pour n = 100.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
Exercice 5.2
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(100, p). On observe X = 45.
- Déterminer un estimateur de p.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour p.
Exercice 5.3
Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de n variables aléatoires indépendantes de même loi d’espérance \mu et de variance \sigma^2 = 9 connue. On observe \overline{X}_n = 15 pour n = 100.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
Exercice 5.4
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(100, p). On observe X = 60.
- Déterminer un estimateur de p.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour p.
Exercice 5.5
Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de n variables aléatoires indépendantes de même loi d’espérance \mu et de variance \sigma^2 = 16 connue. On observe \overline{X}_n = 20 pour n = 100.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
Exercice 5.6
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(100, p). On observe X = 30.
- Déterminer un estimateur de p.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour p.
Exercice 5.7
Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de n variables aléatoires indépendantes de même loi d’espérance \mu et de variance \sigma^2 = 25 connue. On observe \overline{X}_n = 25 pour n = 100.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 90\% pour \mu.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
Exercice 5.8
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(100, p). On observe X = 50.
- Déterminer un estimateur de p.
- Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour p.