Cours – Intégration sur un segment
Chapitre 06
ECS (1re année) — Chapitre 06. Primitives, IPP, changement de variable, sommes de Riemann.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Primitives
Définition 1.1 — (Primitive)
F est une primitive de f sur I si F' = f sur I.
Proposition 1.1 — (Unicité à constante près)
Toutes les primitives de f sur un intervalle I sont de la forme F + C avec C \in \mathbb{R}.
Proposition 1.2 — (Primitives usuelles)
| f(x) | F(x) |
|---|---|
| x^n (n \neq -1) | \frac{x^{n+1}}{n+1} |
| \frac{1}{x} | \ln |x| |
| e^x | e^x |
| \cos x | \sin x |
| \sin x | -\cos x |
| \frac{1}{1+x^2} | \arctan x |
| \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} | \arcsin x |
2 Intégrale définie
Définition 2.1 — (Intégrale)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. L’intégrale de f sur [a,b] est : \int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a) où F est une primitive de f.
Proposition 2.1 — (Propriétés)
- Linéarité : \int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g.
- Relation de Chasles : \int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f.
- Positivité : f \geq 0 \Rightarrow \int_a^b f \geq 0.
- Croissance : f \leq g \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g.
- Inégalité triangulaire : \left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|.
3 Intégration par parties
Théorème 3.1 — (IPP)
Soient u, v \in \mathcal{C}^1([a,b]). Alors : \int_a^b u(t)v'(t)\, dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\, dt
Exemple 3.1
\int_0^1 t e^{-t}\, dt = [-te^{-t}]_0^1 + \int_0^1 e^{-t}\, dt = -e^{-1} + 1 - e^{-1} = 1 - 2e^{-1}.
4 Changement de variable
Théorème 4.1 — (Changement de variable)
Soit \varphi : [\alpha, \beta] \to [a,b] de classe \mathcal{C}^1 et f continue sur [a,b]. Alors : \int_a^b f(x)\, dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\, dt
Exemple 4.1
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx. Poser x = \sin\theta : \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\, d\theta = \frac{\pi}{4}.
5 Sommes de Riemann
Théorème 5.1 — (Sommes de Riemann)
Si f : [a,b] \to \mathbb{R} est continue, alors : \lim_{n \to +\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) = \int_a^b f(t)\, dt
Exemple 5.1
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + (k/n)^2} = \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}.
6 Exercices
Exercice 6.1
Calculer :
- \int_0^1 x^2\, dx
- \int_1^e \frac{dt}{t}
- \int_0^\pi \sin t\, dt
Exercice 6.2
Calculer par IPP :
- \int_0^1 t^2 e^{-t}\, dt
- \int_1^e t \ln t\, dt
Exercice 6.3
Calculer par changement de variable :
- \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
- \int_0^1 t\sqrt{1-t^2}\, dt
Exercice 6.4
Calculer l’aire du domaine délimité par f(x) = x^2, l’axe des abscisses et x = 0, x = 2.
Exercice 6.5
Calculer \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}.
Exercice 6.6
Montrer que si f : [0,1] \to \mathbb{R} est continue, positive et \int_0^1 f(t)\, dt = 0, alors f = 0.
Exercice 6.7
Soit f continue et T-périodique. Montrer que \int_a^{a+T} f(t)\, dt = \int_0^T f(t)\, dt pour tout a.
Exercice 6.8
Calculer \int_0^1 t^n(1-t)^n\, dt par IPP itérées.