TD — Intégration sur un segment

Chapitre 06

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

29 août 2026

ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 06. Primitives, IPP, changement de variable, sommes de Riemann.

Exercice 1

Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

  1. f(x) = 3x^2 - 2x + 1
  2. g(x) = e^x + 2x
  3. h(x) = \dfrac{1}{x} + x^2 sur ]0, +\infty[
  4. k(x) = \cos x - \sin x

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^1 x^2\, dx
  2. \displaystyle\int_1^2 (3x + 1)\, dx
  3. \displaystyle\int_0^\pi \sin x\, dx
  4. \displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\, dx

Exercice 3

Calculer :

  1. \displaystyle\int_0^1 e^{2x}\, dx
  2. \displaystyle\int_0^1 (x+1)^2\, dx
  3. \displaystyle\int_0^{\ln 2} e^x\, dx

Exercice 4

Calculer par intégration par parties :

  1. \displaystyle\int_0^1 x e^x\, dx
  2. \displaystyle\int_1^e \ln x\, dx
  3. \displaystyle\int_0^1 x \ln(1+x)\, dx

Exercice 5

Calculer par changement de variable :

  1. \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
  2. \displaystyle\int_0^1 t\sqrt{1-t^2}\, dt

Exercice 6

Calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de f(x) = x^2, l’axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 2.

Exercice 7

Calculer l’aire comprise entre les courbes y = x et y = x^2 sur l’intervalle [0,1].

Exercice 8

Soit f continue sur [a,b]. Montrer que : \left|\int_a^b f(t)\, dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|\, dt.

Exercice 9

Soit f continue et positive sur [0,1]. Montrer que si \displaystyle\int_0^1 f(t)\, dt = 0, alors f = 0 sur [0,1].

Exercice 10

Soit f continue et T-périodique. Montrer que pour tout réel a : \int_a^{a+T} f(t)\, dt = \int_0^T f(t)\, dt.

Cours

Chapitre 06 : Intégration sur un segment