TD — Algèbre linéaire et calcul matriciel
Chapitre 07
ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 07. Espaces vectoriels, applications linéaires, théorème du rang, matrices, systèmes linéaires.
Exercice 1
Montrer que F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\} est un sous-espace vectoriel de \mathbb{R}^3.
Exercice 2
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par f(x,y) = (x+y, x-y).
- Montrer que f est linéaire.
- Déterminer \ker f et \mathrm{Im}(f).
- f est-elle un isomorphisme ?
Exercice 3
Résoudre par la méthode du pivot de Gauss :
\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}
Exercice 4
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}.
- Calculer \det(A).
- Montrer que A est inversible.
- Calculer A^{-1}.
Exercice 5
Résoudre le système matriciel : \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}.
Exercice 6
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
- Calculer A^2 et A^3.
- Conjecturer une formule pour A^n.
- Démontrer cette formule par récurrence.
Exercice 7
Résoudre le système : \begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 4y + 6z = 2 \\ 3x + 6y + 9z = 3 \end{cases}
Exercice 8
Montrer que si A et B sont inversibles, alors AB est inversible et (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.
Exercice 9
Soit f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^2 définie par f(P) = (P(0), P(1)).
- Montrer que f est linéaire.
- Déterminer \ker f et \mathrm{Im}(f).
- Vérifier le théorème du rang.
Exercice 10
Montrer que pour toutes matrices compatibles A et B : (AB)^T = B^T A^T.