TD — Dénombrement
Chapitre 08
ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 08. Cardinaux, arrangements, combinaisons, formules de Pascal et du binôme.
Exercice 1
Combien y a-t-il de nombres à 4 chiffres distincts ?
Exercice 2
De combien de façons peut-on choisir un comité de 3 personnes parmi 10 ?
Exercice 3
Un code est formé de 3 lettres distinctes suivies de 2 chiffres distincts. Combien de codes peut-on former avec 26 lettres et 10 chiffres ?
Exercice 4
Un sac contient 3 boules rouges et 5 boules noires. On tire 3 boules.
- Combien de tirages possibles ?
- Combien de tirages avec exactement 2 rouges ?
Exercice 5
Montrer que \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.
Exercice 6
Soit E un ensemble fini de cardinal n. Déterminer le nombre de couples (A,B) \in \mathcal{P}(E)^2 avec A \subset B.
Indication : Chaque élément de E a 3 choix : dans A \cap B, dans B \setminus A, ou dans E \setminus B. Résultat : 3^n.
Exercice 7
Montrer l’identité de Vandermonde : \sum_{k=0}^r \binom{n}{k}\binom{m}{r-k} = \binom{n+m}{r}.
Exercice 8
Calculer \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2.
Exercice 9
Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l’alphabet si :
- Les répétitions sont autorisées ?
- Les lettres doivent être distinctes ?
Exercice 10
On dispose de 8 personnes. De combien de façons peut-on les ranger :
- En file indienne ?
- Autour d’une table ronde ?