TD — Espaces probabilisés finis
Chapitre 09
ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 09. Probabilités conditionnelles, Bayes, indépendance, variables aléatoires finies.
Exercice 1
On lance deux dés équilibrés. Calculer :
- P(\text{somme} = 7)
- P(\text{au moins un } 6)
- P(\text{les deux dés donnent le même résultat})
Exercice 2
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement 2 boules sans remise.
- Calculer la probabilité de tirer 2 boules rouges.
- Calculer la probabilité de tirer une rouge puis une noire.
- Calculer la probabilité de tirer 2 boules de couleurs différentes.
Exercice 3
Soient A et B deux événements tels que P(A) = 0{,}4, P(B) = 0{,}5, P(A \cap B) = 0{,}2.
- Calculer P(A \cup B).
- Calculer P(A \mid B).
- Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Exercice 4
Une maladie touche 2\% d’une population. Un test est positif chez 95\% des malades et chez 4\% des non-malades.
Calculer la probabilité qu’une personne soit malade sachant que son test est positif.
Indication : Utiliser la formule de Bayes.
Exercice 5
Soit X la variable aléatoire donnant le résultat du lancer d’un dé équilibré.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X).
- Calculer V(X).
Exercice 6
On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles obtenus.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X).
- Calculer V(X).
Exercice 7
Soit X une variable aléatoire dont la loi est donnée par :
| x_i | -1 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X = x_i) | 0{,}2 | 0{,}5 | 0{,}3 |
Calculer E(X), E(X^2) et V(X).
Exercice 8
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Montrer que E(XY) = E(X)E(Y).
Exercice 9
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire 3 boules sans remise. Soit X le nombre de boules blanches tirées. Déterminer la loi de X.
Exercice 10
Montrer que si A et B sont indépendants, alors A et \overline{B} sont indépendants.