TD — Variables aléatoires finies

Chapitre 10

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

29 août 2026

ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 10. Lois uniforme, de Bernoulli, binomiale, hypergéométrique ; espérance et variance.

Exercice 1

Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}(\{1, 2, 3, 4, 5\}).

  1. Donner la loi de X.
  2. Calculer E(X).
  3. Calculer V(X).

Exercice 2

Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(p).

  1. Donner la loi de X.
  2. Calculer E(X).
  3. Calculer V(X).

Exercice 3

On lance 5 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles obtenus.

  1. Déterminer la loi de X.
  2. Calculer P(X = 2).
  3. Calculer P(X \geq 1).
  4. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 4

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires. On effectue 4 tirages avec remise. Soit X le nombre de boules rouges obtenues.

  1. Quelle est la loi de X ?
  2. Calculer P(X = 0).
  3. Calculer P(X = 1).
  4. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 5

Une urne contient 10 boules : 4 blanches et 6 noires. On tire 3 boules sans remise. Soit X le nombre de boules blanches tirées.

  1. Déterminer la loi de X (loi hypergéométrique).
  2. Calculer E(X).

Exercice 6

Soient X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) et Y \hookrightarrow \mathcal{B}(m,p) indépendantes. Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n+m, p).

Exercice 7

Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(10, 0{,}3). Calculer P(X = 3), E(X) et V(X).

Exercice 8

Montrer que \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1.

Exercice 9

Une machine produit des pièces avec un taux de défaut de 5\%. On prélève un échantillon de 20 pièces. Soit X le nombre de pièces défectueuses.

  1. Quelle loi suit X ?
  2. Calculer P(X = 0) et P(X \geq 1).
  3. Calculer E(X).

Exercice 10

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale \mathcal{B}(n, p). Montrer que : E(X) = np \qquad \text{et} \qquad V(X) = np(1-p).

Indication : Écrire X = X_1 + \cdots + X_n où les X_i sont indépendantes et suivent \mathcal{B}(p).

Cours

Chapitre 10 : Variables aléatoires finies