TD — Fonctions réelles d’une variable
Chapitre 05
ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 05. Limites, continuité, TVI, dérivabilité, Rolle, accroissements finis, convexité.
Exercice 1
Calculer les limites suivantes :
- \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
- \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}
- \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}
- \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x
Exercice 2
Étudier les variations de f(x) = x^3 - 3x + 1 et déterminer ses extremums locaux.
Exercice 3
Montrer que l’équation x^3 + x - 1 = 0 admet une unique solution réelle.
Exercice 4
Montrer que e^x \geq 1 + x pour tout x \in \mathbb{R}.
Indication : Étudier g(x) = e^x - 1 - x.
Exercice 5
Étudier la convexité de f(x) = x^2 e^{-x}. Déterminer ses points d’inflexion éventuels.
Exercice 6
Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer qu’il existe c \in ]0,1[ tel que f(c) = c.
Indication : Étudier g(x) = f(x) - x.
Exercice 7
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue, 2-périodique, avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer qu’il existe c \in ]0,1[ tel que f(c) = f(c+1).
Exercice 8
Montrer que \ln x \leq x - 1 pour tout x > 0.
Exercice 9
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ avec f(a) = f(b). Montrer qu’il existe c \in ]a,b[ tel que f'(c) = 0 (théorème de Rolle).
Exercice 10
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Montrer qu’il existe c \in ]a,b[ tel que : f(b) - f(a) = (b - a) f'(c).