TD — Suites réelles

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

29 août 2026

ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 04. Convergence, suites monotones, suites arithmético-géométriques, suites récurrentes.

Exercice 1

Étudier la convergence des suites suivantes et déterminer leur limite lorsqu’elle existe :

  1. u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 + n}
  2. v_n = \dfrac{(-1)^n}{n}
  3. w_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
  4. a_n = n^2

Exercice 2

Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{2}.

  1. Montrer que si u_n \leq 2, alors u_{n+1} \leq 2.
  2. Montrer que (u_n) est croissante.
  3. En déduire que (u_n) converge.
  4. Déterminer sa limite.

Exercice 3

Soit u_0 = 0 et u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2.

  1. Déterminer le point fixe \ell.
  2. Poser v_n = u_n - \ell et montrer que (v_n) est géométrique.
  3. Exprimer u_n en fonction de n.
  4. Déterminer \lim u_n.

Exercice 4

Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = 3u_n - 4. Déterminer u_n en fonction de n.

Exercice 5

Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}.

  1. Montrer que (u_n) est bien définie et positive.
  2. Montrer que (u_n) est croissante et majorée par 2.
  3. Déterminer \lim u_n.

Exercice 6

Montrer que la suite u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} diverge vers +\infty.

Indication : Regrouper les termes par paquets de puissances de 2.

Exercice 7

Soit u_0 = 2 et u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}.

  1. Montrer que 1 \leq u_n \leq 2 pour tout n.
  2. Montrer que (u_n) est décroissante.
  3. Déterminer \lim u_n.

Exercice 8

Soit u_0 \in ]0, 1[ et u_{n+1} = u_n(1 - u_n). Montrer que (u_n) converge vers 0.

Exercice 9

Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n}. Montrer que (u_n) diverge vers +\infty.

Exercice 10

Soit u_0 = 5 et u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3.

  1. Montrer que (u_n) converge.
  2. Déterminer sa limite.
  3. Exprimer u_n en fonction de n.

Cours

Chapitre 04 : Suites réelles