TD — Polynômes

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

29 août 2026

ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 03. Divisibilité dans \mathbb{K}[X], racines, multiplicité, factorisation.

Exercice 1

Effectuer la division euclidienne de A = X^4 + 3X^3 - X + 2 par B = X^2 + X - 1.

Exercice 2

Déterminer les racines et leur multiplicité de :

  1. P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6
  2. Q(X) = X^4 - 2X^3 + X^2
  3. R(X) = X^3 - 3X + 2

Exercice 3

Montrer que \alpha est racine de P si et seulement si (X - \alpha) \mid P(X).

Exercice 4

Factoriser dans \mathbb{R}[X] et \mathbb{C}[X] :

  1. X^4 - 1
  2. X^6 - 1
  3. X^3 + 2X^2 + 2X + 1

Exercice 5

Soit P(X) = X^n - 1. Déterminer les racines de P dans \mathbb{C}.

Exercice 6

Montrer que si P \in \mathbb{R}[X] admet une racine complexe non réelle \alpha, alors \bar{\alpha} est aussi racine de P.

Exercice 7

Soit P(X) = X^3 + aX^2 + bX + c avec a, b, c \in \mathbb{R}. On suppose que P admet trois racines réelles r_1, r_2, r_3. Exprimer a, b, c en fonction de r_1, r_2, r_3.

Exercice 8

Montrer que le polynôme P(X) = X^2 + X + 1 est irréductible dans \mathbb{R}[X] mais pas dans \mathbb{C}[X].

Exercice 9

Soit P \in \mathbb{R}[X] de degré impair. Montrer que P admet au moins une racine réelle.

Exercice 10

Soit P(X) = X^3 - 1.

  1. Factoriser P dans \mathbb{C}[X].
  2. Factoriser P dans \mathbb{R}[X].
  3. En déduire la factorisation de X^2 + X + 1 dans \mathbb{R}[X].

Cours

Chapitre 03 : Polynômes