TD — Calcul algébrique

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

29 août 2026

ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 02. Sommes, produits, factorielles, coefficients binomiaux, binôme de Newton.

Exercice 1

Calculer les sommes suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{k=1}^{100} k
  2. \displaystyle\sum_{k=1}^{50} (2k - 1)
  3. \displaystyle\sum_{k=0}^{10} 3^k
  4. \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}

Indication : Pour la dernière somme, écrire \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.

Exercice 2

Calculer les produits suivants :

  1. \displaystyle\prod_{k=1}^{n} 2
  2. \displaystyle\prod_{k=1}^{n} k
  3. \displaystyle\prod_{k=2}^{n} \frac{k+1}{k}

Exercice 3

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Exercice 4

Calculer :

  1. \binom{10}{3}
  2. \binom{8}{4}
  3. \displaystyle\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k}
  4. \displaystyle\sum_{k=0}^{10} (-1)^k \binom{10}{k}

Exercice 5

Montrer la formule de Pascal : \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}.

Exercice 6

Développer à l’aide du binôme de Newton :

  1. (a + b)^4
  2. (x + 1)^5
  3. (2x - 1)^3

Exercice 7

Montrer que \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n.

Indication : Utiliser le binôme de Newton avec a = b = 1.

Exercice 8

Calculer \displaystyle\prod_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) pour n \geq 2.

Exercice 9

Montrer que \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}.

Indication : Utiliser l’identité de Vandermonde ou le binôme de Newton.

Exercice 10

Soit n \in \mathbb{N}^*. Montrer que : \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right).

Cours

Chapitre 02 : Calcul algébrique