TD — Logique, ensembles et applications

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

29 août 2026

ECS1 (1re année) — TD du Chapitre 01. Connecteurs, quantificateurs, raisonnements, injections, surjections, bijections.

Exercice 1

Soient P et Q deux propositions. Écrire la négation des propositions suivantes :

  1. P \wedge Q
  2. P \vee Q
  3. P \Rightarrow Q
  4. P \Leftrightarrow Q

Indication : Utiliser les lois de De Morgan et l’équivalence P \Rightarrow Q \iff \neg P \vee Q.

Exercice 2

Nier les propositions suivantes :

  1. \forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0
  2. \exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = -1
  3. \forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; y > x
  4. \exists M > 0,\; \forall x \in \mathbb{R},\; |f(x)| \leq M

Exercice 3

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* : 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

Exercice 4

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N} : 2^n \geq n + 1.

Exercice 5

Montrer par contraposée que si n^2 est pair, alors n est pair.

Exercice 6

Montrer par l’absurde que \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

Indication : Supposer \sqrt{2} = \frac{p}{q} avec p et q premiers entre eux.

Exercice 7

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E. Montrer :

  1. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
  2. A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
  3. A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
  4. A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)

Exercice 8

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = 2x - 3.

  1. Montrer que f est injective.
  2. Montrer que f est surjective.
  3. En déduire que f est bijective.
  4. Déterminer sa bijection réciproque.

Exercice 9

Soit g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par g(x) = x^2.

  1. g est-elle injective ?
  2. g est-elle surjective ?
  3. Montrer que g : [0,+\infty[ \to [0,+\infty[ est bijective.
  4. Déterminer sa bijection réciproque.

Exercice 10

Soit f : E \to F une application. Montrer que f est injective si et seulement si pour tout A \subset E, f^{-1}(f(A)) = A.

Cours

Chapitre 01 : Logique, ensembles et applications