Cours – Algèbre linéaire et calcul matriciel
Chapitre 07
ECS (1re année) — Chapitre 07. Espaces vectoriels, applications linéaires, théorème du rang, matrices, systèmes linéaires.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} = \mathbb{R}.
1 Espaces vectoriels
Définition 1.1 — (Espace vectoriel)
Un \mathbb{R}-espace vectoriel est un ensemble E muni d’une addition et d’une multiplication par un réel, vérifiant les axiomes usuels (commutativité, associativité, élément neutre, opposé, distributivité).
Exemple 1.1
\mathbb{R}^n, \mathbb{R}_n[X] (polynômes de degré \leq n), \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) sont des \mathbb{R}-espaces vectoriels.
1.1 Sous-espaces vectoriels
Définition 1.2 — (Sous-espace vectoriel)
F \subset E est un sous-espace vectoriel (SEV) si :
- 0_E \in F.
- \forall x, y \in F,\; \forall \lambda \in \mathbb{R},\; \lambda x + y \in F.
1.2 Familles libres, génératrices, bases
Définition 1.3 — (Famille libre)
(v_1, \ldots, v_n) est libre si \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0.
Définition 1.4 — (Famille génératrice)
(v_1, \ldots, v_n) est génératrice de E si tout vecteur de E est combinaison linéaire des v_i.
Définition 1.5 — (Base)
(v_1, \ldots, v_n) est une base de E si elle est libre et génératrice.
Définition 1.6 — (Dimension)
La dimension de E, notée \dim E, est le nombre de vecteurs d’une base de E.
2 Applications linéaires
Définition 2.1 — (Application linéaire)
f : E \to F est linéaire si : \forall x, y \in E,\; \forall \lambda \in \mathbb{R},\quad f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y)
Définition 2.2 — (Noyau et image)
- \ker f = \{x \in E \mid f(x) = 0\} est un SEV de E.
- \mathrm{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in E\} est un SEV de F.
Proposition 2.1
f injective \iff \ker f = \{0\}. f surjective \iff \mathrm{Im}(f) = F.
2.1 Théorème du rang
Théorème 2.1 — (Théorème du rang)
Soit f : E \to F linéaire avec \dim E = n < \infty. Alors : \dim E = \mathrm{rg}(f) + \dim(\ker f) où \mathrm{rg}(f) = \dim(\mathrm{Im}(f)).
3 Matrices
3.1 Définition et opérations
Définition 3.1 — (Matrice)
Une matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) est un tableau à n lignes et p colonnes.
Définition 3.2 — (Produit matriciel)
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj}.
Proposition 3.1
A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC, \lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B).
Attention : AB \neq BA en général.
3.2 Matrice identité et inverse
Définition 3.3 — (Matrice identité)
I_n = \begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}.
Définition 3.4 — (Matrice inversible)
A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est inversible s’il existe B telle que AB = BA = I_n. On note B = A^{-1}.
Exemple 3.1 — (Inverse \boldsymbol{2 \times 2})
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} est inversible ssi ad - bc \neq 0, et : A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
4 Systèmes linéaires
4.1 Pivot de Gauss
Méthode 4.1 — (Pivot de Gauss)
Pour résoudre un système linéaire, on utilise les opérations élémentaires sur les lignes :
- Échanger deux lignes.
- Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
- Ajouter à une ligne un multiple d’une autre.
Exemple 4.1
Résoudre : \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 : -3y - z = -9 L_3 \leftarrow L_3 - L_1 : y - 2z = -4
L_3 \leftarrow L_3 + \frac{1}{3}L_2 : -\frac{7}{3}z = -7, donc z = 3, puis y = 2, puis x = 1.
5 Exercices
Exercice 5.1
Montrer que F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\} est un SEV de \mathbb{R}^3.
Exercice 5.2
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par f(x,y) = (x+y, x-y).
- Montrer que f est linéaire.
- Déterminer \ker f et \mathrm{Im}(f).
- f est-elle un isomorphisme ?
Exercice 5.3
Résoudre par Gauss-Jordan : \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
Exercice 5.4
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}. Calculer A^{-1}.
Exercice 5.5
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.
Exercice 5.6
Résoudre le système : \begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 4y + 6z = 2 \\ 3x + 6y + 9z = 3 \end{cases}
Exercice 5.7
Montrer que si A et B sont inversibles, alors AB est inversible et (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.
Exercice 5.8
Soit f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^2 définie par f(P) = (P(0), P(1)).
- Montrer que f est linéaire.
- Déterminer \ker f et \mathrm{Im}(f).
- Vérifier le théorème du rang.