Cours – Fonctions réelles d’une variable
Chapitre 05
ECS (1re année) — Chapitre 05. Limites, continuité, TVI, dérivabilité, Rolle, accroissements finis, convexité.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Limites
Définition 1.1 — (Limite en un point)
\lim_{x \to a} f(x) = \ell signifie : \forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0,\; |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon.
Proposition 1.1 — (Opérations)
Si \lim f = \ell et \lim g = m, alors \lim(f+g) = \ell+m, \lim(fg) = \ell m, \lim(f/g) = \ell/m si m \neq 0.
Théorème 1.1 — (Théorème des gendarmes)
Si g(x) \leq f(x) \leq h(x) au voisinage de a et \lim g = \lim h = \ell, alors \lim f = \ell.
2 Continuité
Définition 2.1 — (Continuité)
f est continue en a si \lim_{x \to a} f(x) = f(a).
Proposition 2.1 — (Opérations sur les fonctions continues)
La somme, le produit, le quotient (si dénominateur non nul) et la composition de fonctions continues sont continus.
2.1 Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 2.1 — (TVI)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. Pour tout y compris entre f(a) et f(b), il existe c \in [a,b] tel que f(c) = y.
Corollaire 2.1 — (Théorème des bornes atteintes)
Toute fonction continue sur un segment [a,b] est bornée et atteint ses bornes.
Théorème 2.2 — (Continuité et monotonie stricte)
Si f : I \to \mathbb{R} est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f réalise une bijection de I sur f(I) et f^{-1} est continue et strictement monotone.
3 Dérivabilité
Définition 3.1 — (Dérivabilité)
f est dérivable en a si \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} existe. On note f'(a) cette limite.
Proposition 3.1 — (Dérivabilité implique continuité)
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Proposition 3.2 — (Opérations)
(f+g)' = f' + g', (fg)' = f'g + fg', \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, (g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'.
4 Théorème de Rolle
Théorème 4.1 — (Théorème de Rolle)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ avec f(a) = f(b). Alors il existe c \in ]a,b[ tel que f'(c) = 0.
5 Accroissements finis
Théorème 5.1 — (Théorème des accroissements finis)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c \in ]a,b[ tel que : f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)
Proposition 5.1 — (Lien dérivée et monotonie)
- f' \geq 0 sur I \iff f croissante sur I.
- f' > 0 sur I \implies f strictement croissante sur I.
- f' = 0 sur I \iff f constante sur I.
6 Convexité
Définition 6.1 — (Convexité)
f : I \to \mathbb{R} est convexe si pour tous x, y \in I et \lambda \in [0,1] : f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)
Théorème 6.1 — (Critère de convexité)
Si f est de classe \mathcal{C}^2 sur I, alors f est convexe sur I si et seulement si f'' \geq 0 sur I.
Définition 6.2 — (Point d’inflexion)
a est un point d’inflexion de f si f''(a) = 0 et f'' change de signe en a.
7 Exercices
Exercice 7.1
Calculer les limites suivantes :
- \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
- \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}
- \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}
Exercice 7.2
Étudier les variations de f(x) = x^3 - 3x + 1 et déterminer ses extremums.
Exercice 7.3
Montrer que l’équation x^3 + x - 1 = 0 admet une unique solution réelle.
Exercice 7.4
Montrer que e^x \geq 1 + x pour tout x \in \mathbb{R}.
Exercice 7.5
Étudier la convexité de f(x) = x^2 e^{-x}.
Exercice 7.6
Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer qu’il existe c \in ]0,1[ tel que f(c) = c.
Exercice 7.7
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue, 2-périodique, avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer qu’il existe c \in ]0,1[ tel que f(c) = f(c+1).
Exercice 7.8
Montrer que \ln x \leq x - 1 pour tout x > 0.