Cours – Suites réelles
Chapitre 04
ECS (1re année) — Chapitre 04. Convergence, suites monotones, suites arithmético-géométriques, suites récurrentes.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Convergence des suites
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Convergence)
Une suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} converge vers \ell \in \mathbb{R} si : \forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad |u_n - \ell| < \varepsilon
On note \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell.
Définition 1.2 — (Divergence)
(u_n) diverge vers +\infty si : \forall A > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall n \geq N,\; u_n > A.
1.2 Opérations sur les limites
Proposition 1.1 — (Opérations)
Si u_n \to \ell et v_n \to m, alors :
- u_n + v_n \to \ell + m
- \lambda u_n \to \lambda \ell
- u_n v_n \to \ell m
- \dfrac{u_n}{v_n} \to \dfrac{\ell}{m} si m \neq 0
Proposition 1.2 — (Théorème des gendarmes)
Si v_n \leq u_n \leq w_n à partir d’un certain rang et v_n \to \ell, w_n \to \ell, alors u_n \to \ell.
1.3 Suites monotones
Définition 1.3 — (Suite monotone)
(u_n) est croissante si u_{n+1} \geq u_n pour tout n. Elle est décroissante si u_{n+1} \leq u_n.
Théorème 1.1 — (Convergence monotone)
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
- Toute suite croissante non majorée diverge vers +\infty.
Exemple 1.1
Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1.
- On montre par récurrence que u_n \leq 2 pour tout n.
- On montre que (u_n) est croissante.
- Par convergence monotone, (u_n) converge vers \ell avec \ell = \frac{1}{2}\ell + 1, donc \ell = 2.
2 Suites arithmético-géométriques
Définition 2.1 — (Suite arithmético-géométrique)
(u_n) est arithmético-géométrique si : u_{n+1} = a u_n + b avec a, b \in \mathbb{R} fixés.
Méthode 2.1 — (Résolution)
- Si a \neq 1, chercher le point fixe \ell = \frac{b}{1-a}.
- Poser v_n = u_n - \ell. Alors (v_n) est géométrique de raison a : v_n = v_0 \cdot a^n.
- En déduire u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n.
Exemple 2.1
Soit u_0 = 3 et u_{n+1} = 2u_n - 1.
- Point fixe : \ell = \frac{-1}{1-2} = 1.
- v_n = u_n - 1 est géométrique de raison 2 : v_n = (u_0 - 1) \cdot 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}.
- Donc u_n = 1 + 2^{n+1}.
3 Suites récurrentes
Définition 3.1 — (Suite récurrente)
Une suite est récurrente si elle est définie par une relation u_{n+1} = f(u_n) pour une fonction f : I \to I.
Méthode 3.1 — (Étude d’une suite récurrente)
- Déterminer les points fixes de f (solutions de f(x) = x).
- Étudier le signe de f(x) - x pour la monotonie.
- Montrer que (u_n) est bornée (par récurrence si f est croissante).
- Appliquer le théorème de convergence monotone.
Exemple 3.1
Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}.
- Points fixes : \ell = \sqrt{\ell + 2} donne \ell^2 = \ell + 2, donc \ell = 2 ou \ell = -1. Comme u_n \geq 0, \ell = 2.
- f(x) = \sqrt{x+2} est croissante sur [0, +\infty[.
- Par récurrence, 0 \leq u_n \leq 2 pour tout n.
- (u_n) est croissante et majorée par 2, donc converge vers 2.
4 Exercices
Exercice 4.1
Étudier la convergence des suites suivantes :
- u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 + n}
- v_n = \dfrac{(-1)^n}{n}
- w_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
Exercice 4.2
Soit u_0 = 0 et u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2.
- Montrer que (u_n) converge.
- Déterminer sa limite.
- Exprimer u_n en fonction de n.
Exercice 4.3
Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = 3u_n - 4. Déterminer u_n en fonction de n.
Exercice 4.4
Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \sqrt{u_n}.
- Montrer que (u_n) est bien définie et positive.
- Montrer que (u_n) est croissante et majorée par 1.
- Déterminer \lim u_n.
Exercice 4.5
Montrer que la suite u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} diverge vers +\infty.
Exercice 4.6
Soit u_0 = 2 et u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2}.
- Montrer que 1 \leq u_n \leq 2 pour tout n.
- Montrer que (u_n) est décroissante.
- Déterminer \lim u_n.
Exercice 4.7
Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}. Montrer que (u_n) diverge vers +\infty.
Exercice 4.8
Soit u_0 \in ]0, 1[ et u_{n+1} = u_n(1-u_n). Montrer que (u_n) converge vers 0.