TD — Matrices et déterminants
Chapitre 14
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 14. Matrice d’une application linéaire, changements de bases, matrices semblables, déterminants, comatrice, formules de Cramer, déterminant de Vandermonde.
Exercice 1
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, f(x,y) = (x+y, x-y).
- Déterminer la matrice de f dans la base canonique.
- Soit \mathcal{B}' = ((1,1),(1,-1)). Déterminer la matrice de f dans \mathcal{B}'.
Exercice 2
Calculer les déterminants :
- \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 6 \\ 1 & 4 & 4 \end{vmatrix}
- \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}
Exercice 3
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). Montrer que :
- \det(A^T) = \det(A)
- \det(AB) = \det(A)\det(B)
- A inversible \iff \det(A) \neq 0
Exercice 4
Résoudre par Cramer : \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + y - 2z = -1 \end{cases}
Exercice 5
Calculer le déterminant de Vandermonde V(a_1, a_2, a_3).
Indication : V = (a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_3-a_2).
Exercice 6
Soient \mathcal{B} et \mathcal{B}' deux bases de E. Montrer que \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1}\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)P où P est la matrice de passage.
Exercice 7
Soit A une matrice antisymétrique de taille impaire. Montrer que \det(A) = 0.
Exercice 8
Soient v_1 = (1,2,3), v_2 = (0,1,1), v_3 = (1,0,1). Calculer \det(v_1, v_2, v_3). La famille est-elle une base ?
Exercice 9
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) inversible. Montrer que A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\,^t\mathrm{Com}(A).
Exercice 10
Montrer que deux matrices semblables ont même déterminant, même trace et même polynôme caractéristique.