TD — Espaces vectoriels et applications linéaires
Chapitre 13
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 13. EV, sous-espaces vectoriels, familles libres et génératrices, bases, dimension finie, applications linéaires, théorème du rang, formes linéaires, hyperplans.
Exercice 1
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels :
- F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\}
- G = \{P \in \mathbb{R}[X] \mid P(0) = P(1)\}
Exercice 2
Soient F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2) et G = \mathrm{Vect}(e_2, e_3) dans \mathbb{R}^3.
- Déterminer F \cap G et F + G.
- La somme est-elle directe ?
Exercice 3
Montrer que (e_1, e_2, e_3) avec e_1 = (1,1,0), e_2 = (0,1,1), e_3 = (1,0,1) est une base de \mathbb{R}^3.
Exercice 4
Soit f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, f(x,y,z) = (x+y, y-z).
- Montrer que f est linéaire.
- Déterminer \ker f et \mathrm{Im}(f).
- Vérifier le théorème du rang.
Exercice 5
Soit f : E \to F linéaire. Montrer que :
- f injective \iff \ker f = \{0\}
- f surjective \iff \mathrm{Im}(f) = F
Exercice 6
Soit f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X], f(P) = P + (1-X)P'.
- Montrer que f est linéaire.
- Déterminer \ker f et \mathrm{Im}(f).
Exercice 7
Soit p \in \mathcal{L}(E) avec p^2 = p. Montrer que E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p).
Exercice 8
Soit E de dimension n et f \in \mathcal{L}(E). Montrer que f injective \iff f surjective \iff f bijective.
Exercice 9
Déterminer une base et la dimension de \{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(1) = 0\}.
Exercice 10
Soit \varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} définie par \varphi(x,y,z) = x + 2y - z. Montrer que \varphi est une forme linéaire et déterminer \ker \varphi (hyperplan).