TD — Espaces préhilbertiens réels
Chapitre 15
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 15. Produit scalaire, norme associée, Cauchy-Schwarz, orthogonalité, bases orthonormales, Gram-Schmidt, projection orthogonale, distance à un sous-espace, produit vectoriel en dimension 3.
Exercice 1
Montrer que \langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k y_k définit un produit scalaire sur \mathbb{R}^n.
Exercice 2
Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.
Indication : Étudier P(\lambda) = \|x + \lambda y\|^2 \geq 0.
Exercice 3
Appliquer Gram-Schmidt à (1, X, X^2) dans \mathbb{R}_2[X] muni de \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\, dt.
Exercice 4
Soient x, y \in E avec \|x\| = 3, \|y\| = 4, \langle x, y \rangle = 6. Calculer \|x+y\|, \|x-y\| et l’angle entre x et y.
Exercice 5
Soit F un sous-espace vectoriel de E euclidien. Montrer que :
- F^\perp est un sous-espace vectoriel.
- F \cap F^\perp = \{0\}.
- E = F \oplus F^\perp.
Exercice 6
Déterminer la projection orthogonale de x = (1,2,3) sur le plan F = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 0\}.
Exercice 7
Soit E euclidien et (e_1, \ldots, e_n) une base orthonormée. Montrer que : x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k \quad \text{et} \quad \|x\|^2 = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle^2
Exercice 8
Soit u \in \mathcal{L}(E) avec \langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle pour tous x, y. Montrer que u conserve la norme.
Exercice 9
Soient u = (1, 2, 3) et v = (4, 5, 6) dans \mathbb{R}^3. Calculer u \wedge v et vérifier que u \wedge v est orthogonal à u et v.
Exercice 10
Montrer que \langle P, Q \rangle = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) définit un produit scalaire sur \mathbb{R}_1[X] mais pas sur \mathbb{R}_2[X].