TD — Nombres entiers, rationnels et réels
Chapitre 04
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 04. Divisibilité dans \mathbb{Z}, division euclidienne, algorithme d’Euclide, nombres premiers, valuation p-adique, rationnels, réels, borne supérieure et inférieure, densité.
Exercice 1
Calculer 1234 \wedge 567 par l’algorithme d’Euclide. En déduire u, v tels que 1234u + 567v = 1234 \wedge 567. Calculer 1234 \vee 567.
Exercice 2
Montrer que \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}. Généraliser : pour p premier, \sqrt{p} \notin \mathbb{Q}.
Exercice 3
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers (raisonnement d’Euclide).
Indication : Supposer p_1, \ldots, p_n premiers. Poser N = p_1 \cdots p_n + 1.
Exercice 4
Déterminer v_2(1000!) et v_5(100!). En déduire le nombre de zéros terminaux de 100!.
Indication : Formule de Legendre : v_p(n!) = \sum_{k \geq 1} \lfloor n/p^k \rfloor.
Exercice 5
Montrer que \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} : pour tout intervalle ]a,b[ non vide, ]a,b[ \cap \mathbb{Q} \neq \varnothing.
Indication : Archimède : choisir n tel que 1/n < b-a, puis m tel que m/n \in ]a,b[.
Exercice 6
Montrer que \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}.
Indication : Si ]a,b[ \cap \mathbb{Q} \neq \varnothing, prendre q + \frac{\sqrt{2}}{n} pour n assez grand.
Exercice 7
Soit A \subset \mathbb{R} non vide et majorée. Montrer que \sup A existe (propriété de la borne supérieure).
Exercice 8
Soient A, B \subset \mathbb{R} non vides et bornées. Montrer que :
- \sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)
- \inf(A \cup B) = \min(\inf A, \inf B)
- \sup(A+B) = \sup A + \sup B où A+B = \{a+b \mid a \in A, b \in B\}
Exercice 9
Soit A = \left\{1 + \dfrac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^*\right\}. Déterminer \sup A, \inf A, \max A, \min A.
Exercice 10
Montrer que \mathbb{R} n’est pas dénombrable (argument de Cantor).
Indication : Raisonner par l’absurde. Supposer \mathbb{R} = \{r_1, r_2, \ldots\} et construire un réel absent de la liste.