TD — Suites numériques

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

PCSI (1re année) — TD du Chapitre 05. Modes de définition, limites, convergence, opérations sur les limites, théorèmes de convergence, suites adjacentes, suites extraites, suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, suites récurrentes linéaires d’ordre 2.

Exercice 1

Montrer que les suites suivantes convergent et déterminer leur limite :

  1. u_n = \dfrac{2n+1}{3n-1}
  2. u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}
  3. u_n = \dfrac{\sin n}{n}
  4. u_n = \dfrac{n^2+1}{n^3+n}

Exercice 2

Soit (u_n) convergente de limite \ell. Montrer que :

  1. (|u_n|) converge vers |\ell|.
  2. Si u_n \geq 0 pour tout n, alors \ell \geq 0.
  3. (u_n^2) converge vers \ell^2.

Exercice 3

Étudier les suites arithmétiques et géométriques :

  1. u_n = 3 + 5n : limite ?
  2. u_n = 2^n : limite ?
  3. u_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)^n : limite ?
  4. u_n = (-2)^n : converge-t-elle ?

Exercice 4

Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{u_n + 1}.

  1. Montrer que u_n > 0 pour tout n.
  2. Montrer que (u_n) converge.
  3. Déterminer la limite.

Indications : - (2) Montrer que u_{n+1} - u_n est du signe de (\sqrt{2} - u_n)(\sqrt{2} + u_n). - (3) Si \ell est la limite : \ell = \frac{\ell+2}{\ell+1} donc \ell^2 = 2.

Exercice 5

Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}.

  1. Montrer que (u_n) est bien définie et positive.
  2. Montrer que (u_n) est croissante et majorée par 2.
  3. En déduire la convergence et calculer la limite.

Exercice 6

Soient (u_n) et (v_n) deux suites adjacentes. Montrer qu’elles convergent vers la même limite.

Exercice 7

Soient (u_n) et (v_n) définies par u_0 = 1, v_0 = 2 : u_{n+1} = \dfrac{u_n+v_n}{2}, \quad v_{n+1} = \sqrt{u_n v_n}

  1. Montrer que u_n \leq v_n pour tout n.
  2. Montrer que (u_n) est croissante et (v_n) décroissante.
  3. Montrer qu’elles sont adjacentes.

Indication : Utiliser l’inégalité arithmético-géométrique \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}.

Exercice 8

Étudier la suite récurrente linéaire d’ordre 2 : u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n avec u_0 = 1, u_1 = 2.

  1. Former l’équation caractéristique.
  2. Déterminer u_n en fonction de n.

Indication : Équation caractéristique r^2 - 5r + 6 = 0, racines 2 et 3. Donc u_n = \lambda 2^n + \mu 3^n.

Exercice 9

Soit u_0 \in ]0,1[ et u_{n+1} = u_n(1-u_n).

  1. Montrer que 0 < u_n < 1 pour tout n.
  2. Montrer que (u_n) est décroissante.
  3. Montrer que u_n \to 0.

Exercice 10

Montrer que si u_{n+1} - u_n \to 0, la suite (u_n) ne converge pas nécessairement.

Indication : Contre-exemple : u_n = \sqrt{n}.

Cours

Chapitre 05 : Suites numériques