TD — Compléments de calcul algébrique
Chapitre 03
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 03. Sommes et produits finis, factorielles, coefficients binomiaux, binôme de Newton, systèmes linéaires en petite dimension, pivot de Gauss.
Exercice 1
Calculer les sommes suivantes :
- \sum_{k=1}^n k
- \sum_{k=1}^n k^2
- \sum_{k=0}^n 2^k
- \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}
Exercice 2
Calculer les produits suivants :
- \prod_{k=1}^n \left(1 + \dfrac{1}{k}\right)
- \prod_{k=2}^n \left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right)
Indications : - (1) Produit télescopique : \prod_{k=1}^n \frac{k+1}{k} = n+1. - (2) \frac{k^2-1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}. Résultat : \frac{n+1}{2n}.
Exercice 3
Montrer par récurrence le binôme de Newton : (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}
Exercice 4
Montrer que :
- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n
- \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0 pour n \geq 1
- \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} = n \cdot 2^{n-1}
Indications : - (1) Binôme avec a=b=1. - (2) Binôme avec a=1, b=-1. - (3) Dériver (1+x)^n et prendre x=1.
Exercice 5
Résoudre les systèmes linéaires suivants :
\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + y - 2z = -1 \end{cases}
Exercice 6
Résoudre par le pivot de Gauss : \begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 4y + 6z = 12 \\ 3x + 6y + 9z = 18 \end{cases}
Indication : Les trois équations sont proportionnelles. Infinité de solutions.
Exercice 7
Résoudre selon les valeurs de m \in \mathbb{R} : \begin{cases} x + y = 1 \\ x + m^2 y = m \end{cases}
Indication : Discuter selon m = 1, m = -1 et m \neq \pm 1.
Exercice 8
Montrer la formule de Pascal : \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}.
Indication : Utiliser \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} et mettre au même dénominateur.
Exercice 9
Calculer \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2.
Indication : \binom{n}{k}^2 = \binom{n}{k}\binom{n}{n-k}. Par Vandermonde : \binom{2n}{n}.
Exercice 10
Montrer que n! \leq n^n pour tout n \in \mathbb{N}^*.
Indication : Récurrence immédiate ou observation directe : k \leq n pour tout k \leq n.