TD — Nombres complexes : calculs algébriques et applications géométriques

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

PCSI (1re année) — TD du Chapitre 02. Forme algébrique, conjugaison, module, arguments, forme trigonométrique, exponentielle complexe, trigonométrie, équations du second degré, racines n-ièmes, interprétation géométrique.

Exercice 1

Mettre sous forme algébrique :

  1. (2+3i)(1-i)
  2. \dfrac{1+i}{1-i}
  3. (1+i)^{10}
  4. \left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\right)^6

Exercice 2

Déterminer le module et un argument de :

  1. z_1 = 1+i
  2. z_2 = -1+i\sqrt{3}
  3. z_3 = (1+i)^n pour n \in \mathbb{N}

Exercice 3

Résoudre dans \mathbb{C} :

  1. z^2 + 1 = 0
  2. z^2 - 4z + 5 = 0
  3. z^4 + z^2 + 1 = 0
  4. z^3 = 1

Exercice 4

Résoudre dans \mathbb{C} :

  1. z^4 = -1
  2. z^5 = 1+i
  3. z^6 - 1 = 0

Indications : - (1) -1 = e^{i\pi}, solutions e^{i(\pi+2k\pi)/4}. - (3) z^6 - 1 = (z^3-1)(z^3+1).

Exercice 5

Montrer les formules d’Euler :

  1. \cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
  2. \cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}, \quad \sin^2\theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}
  3. \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta (formule de Moivre)

Exercice 6

Soit z \in \mathbb{C} avec |z| = 1. Montrer que z + \dfrac{1}{z} \in \mathbb{R}.

Indication : |z|=1 implique \frac{1}{z} = \bar{z}, donc z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2\operatorname{Re}(z).

Exercice 7

Montrer que la somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle : 1 + e^{2i\pi/n} + e^{4i\pi/n} + \cdots + e^{2i(n-1)\pi/n} = 0

Indication : Somme géométrique de raison e^{2i\pi/n} \neq 1.

Exercice 8

Interpréter géométriquement les ensembles suivants :

  1. \{z \in \mathbb{C} \mid |z - 1| = |z + 1|\}
  2. \{z \in \mathbb{C} \mid |z - i| \leq 2\}
  3. \{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z) > 0\}

Indications : - (1) Médiatrice du segment joignant 1 et -1, c’est-à-dire l’axe imaginaire. - (2) Disque fermé de centre i et de rayon 2.

Exercice 9

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(k\theta) = 2^n \cos^n\!\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos\!\left(\frac{n\theta}{2}\right)

Indications : - (1+e^{i\theta})^n = \sum \binom{n}{k}e^{ik\theta}. - 1+e^{i\theta} = 2\cos(\theta/2)\,e^{i\theta/2}. - Prendre la partie réelle.

Exercice 10

Soit ABC un triangle équilatéral dans le plan complexe avec A d’affixe 0, B d’affixe 1. Déterminer les affixes possibles de C.

Indication : C est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle \pm \pi/3. Donc C = e^{\pm i\pi/3}.

Cours

Chapitre 02 : Nombres complexes : calculs algébriques et applications géométriques