TD — Vocabulaire ensembliste et éléments de logique

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

PCSI (1re année) — TD du Chapitre 01. Connecteurs logiques, quantificateurs, raisonnements (récurrence, absurde, contraposition, analyse-synthèse), ensembles, applications, injections, surjections, bijections.

Exercice 1

Montrer que pour toutes propositions P, Q, R :

  1. P \Rightarrow (Q \Rightarrow R) est équivalente à (P \wedge Q) \Rightarrow R.
  2. \neg(P \wedge Q) est équivalente à (\neg P) \vee (\neg Q) (loi de De Morgan).
  3. P \Rightarrow Q est équivalente à (\neg P) \vee Q.

Exercice 2

Soient P(x) et Q(x) deux propositions dépendant de x \in E. Montrer que :

  1. \forall x \in E,\; P(x) \wedge Q(x) est équivalente à (\forall x,\; P(x)) \wedge (\forall x,\; Q(x)).
  2. \exists x \in E,\; P(x) \vee Q(x) est équivalente à (\exists x,\; P(x)) \vee (\exists x,\; Q(x)).
  3. \neg(\forall x,\; P(x)) est équivalente à \exists x,\; \neg P(x).

Exercice 3

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}
  2. \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  3. 2^n > n

Exercice 4

Montrer par l’absurde que \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

Indication : Supposer \sqrt{2} = p/q avec p \wedge q = 1. Montrer 2 \mid p puis 2 \mid q.

Exercice 5

Montrer par contraposée que si n^2 est pair, alors n est pair.

Indication : Contraposée : si n est impair, alors n^2 est impair.

Exercice 6

Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que :

  1. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
  2. A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
  3. \mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)

Exercice 7

Soit f : E \to F une application. Montrer que :

  1. f est injective \iff \forall A \in \mathcal{P}(E),\; f^{-1}(f(A)) = A.
  2. f est surjective \iff \forall B \in \mathcal{P}(F),\; f(f^{-1}(B)) = B.

Exercice 8

Soient f : E \to F et g : F \to G deux applications. Montrer que :

  1. Si f et g sont injectives, alors g \circ f est injective.
  2. Si f et g sont surjectives, alors g \circ f est surjective.
  3. Si g \circ f est injective, alors f est injective.

Exercice 9

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = \dfrac{x}{1+|x|}.

  1. Montrer que f est injective.
  2. Montrer que f n’est pas surjective sur \mathbb{R}.
  3. Montrer que f réalise une bijection de \mathbb{R} sur ]-1, 1[ et déterminer sa réciproque.

Exercice 10

Soient f : E \to F et g : F \to E telles que g \circ f = \mathrm{Id}_E et f \circ g = \mathrm{Id}_F. Montrer que f est bijective et f^{-1} = g.

Cours

Chapitre 01 : Vocabulaire ensembliste et éléments de logique