TD — Intégration sur un intervalle quelconque
Chapitre 22
MPSI (1re année) — TD du Chapitre 22. IPP, changement de variable. Fonctions intégrables.
Exercice 1
Étudier la convergence des intégrales suivantes :
- \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} selon \alpha \in \mathbb{R}
- \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} selon \alpha \in \mathbb{R}
- \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt selon \alpha \in \mathbb{R}
Exercice 2
Étudier la nature des intégrales suivantes :
- \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt
- \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2}
- \displaystyle\int_0^1 \ln t\, dt
- \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t)^2}
Indications : - (1) Semi-convergence : IPP avec u = 1/t. - (3) \int_0^1 \ln t\, dt = [t\ln t - t]_0^1 = -1.
Exercice 3
Montrer que \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt converge mais pas absolument.
Indications : - Convergence : IPP sur [\varepsilon, A] puis passage à la limite. - Non-convergence absolue : minorer \int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\, dt en découpant en intervalles [k\pi, (k+1)\pi].
Exercice 4
Étudier la convergence de \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{1 - \cos t}{t^\alpha}\, dt selon \alpha \in \mathbb{R}.
Indications : - En 0^+ : 1 - \cos t \sim t^2/2, convergence si \alpha < 3. - En +\infty : 0 \leq 1 - \cos t \leq 2, convergence si \alpha > 1. - Conclusion : convergence ssi 1 < \alpha < 3.
Exercice 5
Calculer les intégrales suivantes :
- \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)^2}
- \displaystyle\int_0^{+\infty} t e^{-t}\, dt
- \displaystyle\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t}\, dt
Indications : - (1) Poser t = \tan\theta. Résultat : \pi/4. - (2) IPP. Résultat : 1. - (3) Double IPP. Résultat : 2.
Exercice 6
Soit f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R} continue, positive et décroissante. Montrer que : \int_0^{+\infty} f(t)\, dt \text{ converge} \iff \sum_{n=0}^{+\infty} f(n) \text{ converge}
Indication : Encadrer f(k) par \int_k^{k+1} f et \int_{k-1}^k f grâce à la décroissance.
Exercice 7
Montrer que \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
Indications : - Poser I = \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\, dt. - Calculer I^2 comme intégrale double sur \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+. - Passer en coordonnées polaires.
Exercice 8
Étudier la convergence de \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t^\alpha}\, dt selon \alpha \in \mathbb{R}.
Indication : En 0^+ : e^{-t} \sim 1, convergence ssi \alpha < 1. En +\infty : convergence pour tout \alpha.
Exercice 9
Soit f : [1, +\infty[ \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1 avec \displaystyle\int_1^{+\infty} |f'(t)|\, dt convergente. Montrer que f admet une limite finie en +\infty.
Indication : Écrire f(x) - f(1) = \int_1^x f'(t)\, dt et montrer que cette intégrale converge absolument.
Exercice 10
Étudier la convergence absolue et la convergence simple de \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^\alpha}\, dt selon \alpha \in \mathbb{R}.
Indications : - En 0^+ : \sin t \sim t, convergence ssi \alpha < 2. - En +\infty : convergence simple par IPP si \alpha > 0 ; convergence absolue si \alpha > 1. - Bilan : convergence absolue ssi 0 < \alpha < 2 ; semi-convergence ssi \alpha \in ]0,1].