TD — Intégration sur un segment

Chapitre 21

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 21. Sommes de Riemann, primitives, IPP, changement de variable.

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \displaystyle\int_0^1 t^2\, dt
  2. \displaystyle\int_0^{\pi} \sin t\, dt
  3. \displaystyle\int_1^e \frac{dt}{t}
  4. \displaystyle\int_0^1 t e^t\, dt

Exercice 2

Calculer par intégration par parties :

  1. \displaystyle\int_0^1 t^2 e^{-t}\, dt
  2. \displaystyle\int_0^{\pi/2} t \cos t\, dt
  3. \displaystyle\int_0^1 t \ln t\, dt

Indications : - (1) Double IPP avec u = t^2, dv = e^{-t}dt. - (3) u = \ln t, dv = t\, dt. Attention en t = 0 : \lim_{t \to 0^+} t^2 \ln t = 0.

Exercice 3

Calculer par changement de variable :

  1. \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
  2. \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}
  3. \displaystyle\int_0^1 t\sqrt{1-t^2}\, dt

Indications : - (1) Poser t = \sin \theta. - (2) Poser t = \tan \theta. - (3) Poser u = 1 - t^2.

Exercice 4

Soit f : [0, 1] \to \mathbb{R} continue. Calculer la limite : \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)

Indication : Reconnaître une somme de Riemann associée à f sur [0,1].

Exercice 5

Calculer les limites suivantes en utilisant les sommes de Riemann :

  1. \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}
  2. \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + (k/n)^2}

Indications : - (1) Écrire \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+k/n} \to \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2. - (2) La limite est \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}.

Exercice 6

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \int_0^1 t^n(1-t)^n\, dt = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}

Indication : Poser I_n = \int_0^1 t^n(1-t)^n\, dt. Par le changement de variable u = 1-t, montrer I_n = \int_0^1 t^n(1-t)^n\, dt. Utiliser une IPP ou une récurrence.

Exercice 7

Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. Montrer que : \left|\int_a^b f(t)\, dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|\, dt \leq (b-a)\|f\|_\infty

Exercice 8

Calculer \displaystyle\int_0^{\pi} \cos^{2n} t\, dt pour n \in \mathbb{N} en utilisant la formule de linéarisation ou une relation de récurrence.

Indication : Poser I_n = \int_0^\pi \cos^{2n} t\, dt. Établir I_n = \frac{2n-1}{2n}I_{n-1} par IPP.

Exercice 9

Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue. Montrer que : \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 t^n f(t)\, dt = 0

Indications : - f est bornée : |f(t)| \leq M. - \left|\int_0^1 t^n f(t)\, dt\right| \leq M \int_0^1 t^n\, dt = \frac{M}{n+1} \to 0.

Exercice 10

Soit f : [0, 1] \to \mathbb{R} continue avec f(0) = 0. Montrer que : \lim_{n \to +\infty} n \int_0^1 t^n f(t)\, dt = f(1)

Indications : - Écrire n\int_0^1 t^n f(t)\, dt = n\int_0^1 t^n(f(t) - f(1))\, dt + \frac{n}{n+1}f(1). - Montrer que le premier terme tend vers 0 par continuité de f en 1.

Cours

Chapitre 21 : Intégration sur un segment