TD — Séries numériques

Chapitre 23

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 23. Séries à termes positifs, séries géométriques et de Riemann.

Exercice 1

Étudier la convergence des séries suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n}
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}
  3. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}
  4. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} selon \alpha

Exercice 2

Étudier la convergence des séries suivantes par comparaison :

  1. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^3 + 1}
  3. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2}

Indications : - (1) Comparer avec \sum 1/n^2. - (3) \ln n = o(n^\varepsilon) pour tout \varepsilon > 0.

Exercice 3

Étudier la convergence des séries suivantes par le critère de d’Alembert :

  1. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n!}{n^n}
  2. \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} selon x \in \mathbb{R}
  3. \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^n}{n! \, x^n} selon x > 0

Exercice 4

Montrer que la série harmonique \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} diverge.

Indications : - Méthode 1 : Comparaison série/intégrale avec \int_1^{+\infty} dt/t. - Méthode 2 : Regrouper les termes : \frac{1}{2} + (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) + (\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}) + \cdots

Exercice 5

Étudier la convergence des séries suivantes :

  1. \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n}
  2. \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n (\ln n)^2}

Indications : - (1) Comparaison série/intégrale avec \int_2^{+\infty} \frac{dt}{t \ln t} = [\ln(\ln t)]_2^{+\infty} = +\infty. Divergence. - (2) \int_2^{+\infty} \frac{dt}{t(\ln t)^2} = [-1/\ln t]_2^{+\infty} = 1/\ln 2. Convergence.

Exercice 6

Soit \displaystyle\sum u_n une série à termes positifs. Montrer que si \displaystyle\sum u_n converge, alors \displaystyle\sum u_n^2 converge.

Indication : u_n \to 0, donc à partir d’un certain rang u_n \leq 1 et u_n^2 \leq u_n.

Exercice 7

Étudier la convergence de \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 - \cos\frac{1}{n}\right).

Indication : 1 - \cos(1/n) \sim \frac{1}{2n^2}. Convergence par équivalence avec \sum 1/n^2.

Exercice 8

Soit (u_n) une suite décroissante positive. Montrer que : \sum u_n \text{ converge} \iff \sum 2^n u_{2^n} \text{ converge}

Indication : Critère de condensation de Cauchy. Encadrer \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} u_k entre 2^n u_{2^{n+1}} et 2^n u_{2^n}.

Exercice 9

Étudier la convergence de \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}. Cette série est-elle absolument convergente ?

Indication : Convergence par le critère spécial des séries alternées (Leibniz). Pas absolument convergente car \sum 1/(n+1) diverge.

Exercice 10

Soit x \in ]0, 1[. Calculer \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n et \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n.

Indications : - \sum x^n = \frac{1}{1-x}. - Dériver : \sum nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}.

Cours

Chapitre 23 : Séries numériques