Séries numériques
Chapitre 23
MPSI (1re année) — Chapitre 23. Séries numériques, convergence et divergence, séries à termes positifs, théorèmes de comparaison, séries géométriques et séries de Riemann, séries absolument convergentes.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Séries numériques
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}. Les séries prolongent la notion de somme à un nombre infini de termes. Elles constituent un outil fondamental de l’analyse.
1 Généralités
1.1 Définition
Définition 2.1 — (Série numérique)
Une série numérique (réelle ou complexe) est une famille (u_n)_{n\in\mathbb{N}} d’éléments de \mathbb{K} indexée par \mathbb{N} (ou par \mathbb{N}^*, ou par \mathbb{N}\smallsetminus\{0,\ldots,n_0-1\}). On définit la suite des sommes partielles (S_n)_{n\in\mathbb{N}} par : \forall n\in\mathbb{N},\quad S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k On note \sum u_n ou \sum_{n\geq 0}u_n la série de terme général u_n.
Définition 2.2 — (Convergence et divergence)
On dit que la série \sum u_n est convergente si la suite des sommes partielles (S_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers une limite finie S\in\mathbb{K}. Cette limite S est appelée la somme de la série et on note : S=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}S_n Si la suite (S_n) ne converge pas, on dit que la série est divergente.
Remarque. La suite des sommes partielles est liée au terme général par : u_n=S_n-S_{n-1}\quad(\text{pour }n\geq 1) Ainsi, la suite (u_n) converge si et seulement si la série \sum (S_n-S_{n-1}) converge.
Exemple 2.1
. La série \sum_{n\geq 0}\frac{1}{n!} converge (vers e). 2. La série \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n} (série harmonique) est divergente. 3. La série géométrique \sum_{n\geq 0}q^n converge si et seulement si |q|<1, et sa somme vaut \frac{1}{1-q}. 4. La série \sum_{n\geq 0}(-1)^n est divergente.
1.2 Premières propriétés
Définition 2.3 — (Série bornée)
On dit que la série \sum u_n est bornée si la suite des sommes partielles (S_n) est bornée.
Proposition 2.1 — (Condition nécessaire de convergence)
Si la série \sum u_n converge, alors son terme général tend vers 0 : \lim_{n\to+\infty}u_n=0
Preuve. On a u_n=S_n-S_{n-1}. Comme (S_n) converge vers une limite finie S, alors (S_{n-1}) converge aussi vers S, donc u_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0.
Remarque. La réciproque est fausse : la série harmonique \sum\frac{1}{n} a un terme général qui tend vers 0, mais elle diverge. La condition \lim u_n=0 est nécessaire mais pas suffisante.
Proposition 2.2 — (Linéarité)
Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries convergentes et \lambda,\mu\in\mathbb{K}. Alors la série \sum(\lambda u_n+\mu v_n) converge et : \sum_{n=0}^{+\infty}(\lambda u_n+\mu v_n)=\lambda\sum_{n=0}^{+\infty}u_n+\mu\sum_{n=0}^{+\infty}v_n
2 Séries réelles à termes positifs
Dans cette section, les termes u_n sont supposés réels positifs.
Proposition 3.1
Si \sum u_n est une série à termes positifs, alors la suite des sommes partielles (S_n) est croissante. Par conséquent : - Si (S_n) est majorée, alors la série converge. - Si (S_n) n’est pas majorée, alors la série diverge vers +\infty.
2.1 Théorème de comparaison
Théorème 3.1 — (Comparaison)
Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries à termes positifs telles que 0\leq u_n\leq v_n pour tout n. 1. Si \sum v_n converge, alors \sum u_n converge. 2. Si \sum u_n diverge, alors \sum v_n diverge.
Preuve. Comme (S_n) et (T_n) (sommes partielles de \sum u_n et \sum v_n) sont croissantes et S_n\leq T_n. Si \sum v_n converge, (T_n) est majorée par T, donc (S_n) est majorée par T et converge.
Théorème 3.2 — (Comparaison par équivalence)
Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries à termes positifs telles que u_n\sim v_n (c’est-à-dire \frac{u_n}{v_n}\to 1). Alors les deux séries sont de même nature.
2.2 Séries géométriques
Proposition 3.2 — (Série géométrique)
Soit q\in\mathbb{K}. La série géométrique \sum_{n\geq 0}q^n : - converge si et seulement si |q|<1, et alors \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q} ; - diverge si |q|\geq 1.
Preuve. La somme partielle vaut S_n=\sum_{k=0}^n q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} si q\neq 1. Si |q|<1, q^{n+1}\to 0 donc S_n\to\frac{1}{1-q}. Si |q|\geq 1, le terme général q^n ne tend pas vers 0, donc la série diverge.
Exemple 3.1
\sum_{n\geq 0}\left(\frac12\right)^n=\frac{1}{1-\frac12}=2.
2.3 Séries de Riemann
Proposition 3.3 — (Séries de Riemann)
Soit \alpha\in\mathbb{R}. La série de Riemann \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^\alpha} : - converge si et seulement si \alpha>1 ; - diverge si \alpha\leq 1.
Preuve.
- Pour \alpha>1 : on regroupe les termes par paquets et on compare à une série géométrique convergente.
- Pour \alpha\leq 1 : comme \frac{1}{n^\alpha}\geq\frac{1}{n} pour \alpha\leq 1 et \alpha\leq 1, et \frac1n\geq\frac1n avec la série harmonique divergente, on conclut par comparaison.
Exemple 3.2
. \sum\frac{1}{n^2} converge (car 2>1). 2. \sum\frac{1}{n} diverge (série harmonique, \alpha=1). 3. \sum\frac{1}{\sqrt n} diverge (car \frac12\leq 1).
3 Séries absolument convergentes
Définition 4.1 — (Convergence absolue)
On dit que la série \sum u_n (à termes réels ou complexes) est absolument convergente si la série \sum|u_n| converge.
Théorème 4.1
Toute série absolument convergente est convergente.
Théorème 4.2 — (Inégalité triangulaire)
Si \sum u_n est absolument convergente, alors : \left|\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\right|\leq\sum_{n=0}^{+\infty}|u_n|
Remarque. La réciproque est fausse : la série \sum\frac{(-1)^n}{n} converge mais n’est pas absolument convergente (car \sum\frac1n diverge).
4 Séries complexes
Proposition 5.1 — (Caractérisation par les parties réelle et imaginaire)
Soit (u_n) une série complexe. Alors \sum u_n converge si et seulement si les séries \sum\operatorname{Re}(u_n) et \sum\operatorname{Im}(u_n) convergent, et alors : \sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\sum_{n=0}^{+\infty}\operatorname{Re}(u_n)+i\sum_{n=0}^{+\infty}\operatorname{Im}(u_n)
Remarque. Une série complexe est absolument convergente si et seulement si les séries \sum\operatorname{Re}(u_n) et \sum\operatorname{Im}(u_n) sont absolument convergentes.
Exercice 5.1
. Étudier la nature des séries suivantes : \sum\frac{1}{n^2+1} ; \sum\frac{n}{n^2+1} ; \sum\frac{1}{n^3+1}. 2. Étudier la convergence de \sum\frac{\sin n}{n^2}. 3. Étudier la nature de \sum\frac{(-1)^n}{n}. Est-elle absolument convergente ? 4. Montrer que \sum\frac{1}{n(n+1)}=1.
Solution. . \sum\frac{1}{n^2+1} converge par comparaison avec \sum\frac{1}{n^2} (car \frac{1}{n^2+1}\leq\frac{1}{n^2}). \sum\frac{n}{n^2+1} diverge car \frac{n}{n^2+1}\sim\frac1n. \sum\frac{1}{n^3+1} converge. 2. \left|\frac{\sin n}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2} et \sum\frac{1}{n^2} converge, donc \sum\frac{\sin n}{n^2} converge absolument. 3. \sum\frac{(-1)^n}{n} converge (critère spécial des séries alternées) mais n’est pas absolument convergente. 4. \frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac{1}{n+1}, donc la somme est télescopique : \sum_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{N+1}\to 1.